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Exemplo resolvido: derivada de 7^(x²-x) usando a regra da cadeia

Neste vídeo, calculamos a derivada da função exponencial 7^(x²-x) usando os conhecimentos sobre a derivada de aˣ e a regra da cadeia.

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - Vamos assumir que temos aqui uma função y definida por 7 elevado a (x² menos x). Qual é a derivada de y em relação a x, ou seja, o dy/dx? Como sempre, pause o vídeo e tente descobrir sozinho. Pelo que você pode verificar aqui, e eu já fiz tudo coloridinho, você identifica facilmente uma função composta, ou seja, vamos comparar isso como se eu tivesse uma função v(x) definida por 7ˣ e uma outra função u(x) definida por x² menos x. O que teríamos para y é igual a 7 elevado a alguma coisa, então y seria v, não de (x), mas de (x² menos x), ou seja, em vez de x, teríamos x² menos x no expoente do 7, ao comparar y com v, e x² menos x é justamente o que chamamos de u(x). Portanto y é igual a v (u (x)). A regra da cadeia nos diz que a derivada de y em relação a x, que estamos representando por dy/dx, vai ser dada pela derivada de v em relação a u vezes a derivada de u em relação a x e que podemos escrever com a outra notação como dv/du, a derivada de v em relação a u, vezes a derivada de u em relação a x, du/dx. Agora vamos lá. O que é a derivada de v em relação a u, ou seja, v' (u (x)) ? Olhando para o v(x) como sendo 7ˣ, já provamos em outros vídeos que a derivada de uma exponencial com base diferente de "e" é o ln da base, ln de 7, vezes a própria função, nesse caso 7ˣ . Estamos falando isso para v'(x), mas agora vamos falar para v' (u(x)), então é só repetir tudo isso colocando, no lugar de x, u(x). Teremos então ln de 7 vezes 7 elevado não a x, como tínhamos antes, mas ao que está no lugar do x, que é u(x), que é x² menos x. Agora ainda temos de multiplicar isso tudo pela derivada de u em relação a x. A derivada de u em relação a x, u'(x), é igual a 2x (aqui é a regra da potência) menos 1, a derivada de x é 1. Voltando para a derivada de y em relação a x, teremos que multiplicar por 2x menos 1, entre parênteses. Esta expressão, então, define a derivada de y em relação a x. Utilizamos aqui a regra da cadeia. Nós poderemos simplificar esta expressão representando-a de diferentes maneiras, mas o que queremos destacar aqui é o uso da regra da cadeia, em que você calculou a derivada de 7 elevado a x normalmente, mas depois trocou x pela função que estava em seu lugar, x² menos x, e multiplicou este resultado pela derivada da função u, ou seja, do x² menos x. Aquilo que estava no lugar do x quando tratávamos do v(x) simplesmente. Esta é uma simples aplicação da regra da cadeia. Até o próximo vídeo!