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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 3
Lição 2: A regra da cadeia: mais prática- Exemplo resolvido: regra da cadeia com tabela
- Regra da cadeia com tabelas
- Derivada de aˣ (para qualquer base positiva a)
- Derivada de logₐx (para qualquer base positiva a≠1)
- Derivadas de aˣ e logₐx
- Exemplo resolvido: derivada de 7^(x²-x) usando a regra da cadeia
- Exemplo resolvido: derivada de log₄(x²+x) usando a regra da cadeia
- Exemplo resolvido: derivada de sec(3π/2-x) usando a regra da cadeia
- Exemplo resolvido: derivada de ∜(x³+4x²+7) usando a regra da cadeia
- O principal da regra da cadeia
- Demonstração da regra da cadeia
- Revisão de regras de derivação
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Derivada de aˣ (para qualquer base positiva a)
Neste vídeo, encontramos a derivada de aˣ (para qualquer base positiva a) usando a derivada de eˣ e a regra da cadeia. Em seguida, calculamos a derivada de 8⋅3ˣ.
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É muito interessante, pois isso também justifica a derivada d(e^x)/d(x) = e^x; veja bem: (a^x).ln(a) = d(a^x)/d(x). Assim, você pode concluir que (e^x). ln(e) também representa a derivada de e^x. Como você já deve saber, ln(e) =1; assim, fica mostrado que (e^x).1 = e^x = derivada de de e^x.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - Neste vídeo, vamos falar sobre derivada de função exponencial. Em primeiro lugar, uma função exponencial muito interessante que nós sabemos a derivada, é derivada de "e" elevado a "x". Já vimos em vídeos anteriores. A derivada de "e" elevado a "x"
é o próprio "e" elevado a "x". Isto é muito interessante,
pois significa que a inclinação desta curva
"e" elevado a "x" quando a gente derivar dá,
de novo, "e" elevado a "x". Se derivar novamente,
dá "e" elevado a "x" e assim sucessivamente. Antes de continuar, vamos ver
uma propriedade de logaritmo. Se você tem, por exemplo, o logaritmo na base
"e" de "a" igual a "y". Significa que "e" elevado a "y"
é igual a "a". Ora, mas quem é "y"? "y" é o logaritmo "a" na base "e". Então, significa que "e" elevado
ao logaritmo neperiano de "a", que é exatamente nosso "y", vai ser igual a "a". Então, voltando aqui
para o nosso problema, vamos supor que nós
estamos querendo derivar "a" elevado a "x" / "dx". Ora, nós podemos dizer que é a derivada em relação a "x" de, quem é "a"? "a" eu posso escrever desta forma. Portanto, eu posso dizer que é "e" elevado ao logaritmo neperiano de "a" elevado a "x". Agora, vamos dar uma ajeitada
aqui no expoente. Vamos colocar da forma d/dx de "e" elevado ao logaritmo
neperiano de "a" vezes "x". Agora, nós podemos utilizar
a regra da cadeia para derivar esta função. Então, como é que fica
pela regra da cadeia? Nós vamos ter este termo
que está em cima do "e". E nós temos "e" elevado
a este termo. Então, quando derivarmos
a primeira em relação a este termo, fica o próprio "e" elevado
ao logaritmo neperiano de "a" vezes "x". Vezes a derivada da segunda. A derivada da segunda
em relação a "x", o logaritmo neperiano de "a",
é um número. Portanto, vai ser o próprio
logaritmo neperiano de "a". Isso vai ser igual a quê? O logaritmo neperiano de "a", vamos só inverter a ordem, vezes "e" elevado ao
logaritmo neperiano de "a" elevado a "x". Ora, mas quem é "e" elevado
ao logaritmo neperiano de "a"? É o nosso "a". Portanto, ficamos com
logaritmo neperiano de "a" vezes "a" elevado "x". Vamos ver uma aplicação. Vamos supor que você queira tirar a derivada de 8 vezes 3
elevado a "x" / "dx". Então, você fica,
8 é uma constante. Você vai ter 8 vezes, pelo que nós já vimos, 3 elevado a "x" vai ficar logaritmo neperiano de 3 vezes 3 elevado a "x".