Derivada de aˣ (para qualquer base positiva a)

RKA3JV - Neste vídeo, vamos falar sobre derivada de função exponencial. Em primeiro lugar, uma função exponencial muito interessante que nós sabemos a derivada, é derivada de "e" elevado a "x". Já vimos em vídeos anteriores. A derivada de "e" elevado a "x" é o próprio "e" elevado a "x". Isto é muito interessante, pois significa que a inclinação desta curva "e" elevado a "x" quando a gente derivar dá, de novo, "e" elevado a "x". Se derivar novamente, dá "e" elevado a "x" e assim sucessivamente. Antes de continuar, vamos ver uma propriedade de logaritmo. Se você tem, por exemplo, o logaritmo na base "e" de "a" igual a "y". Significa que "e" elevado a "y" é igual a "a". Ora, mas quem é "y"? "y" é o logaritmo "a" na base "e". Então, significa que "e" elevado ao logaritmo neperiano de "a", que é exatamente nosso "y", vai ser igual a "a". Então, voltando aqui para o nosso problema, vamos supor que nós estamos querendo derivar "a" elevado a "x" / "dx". Ora, nós podemos dizer que é a derivada em relação a "x" de, quem é "a"? "a" eu posso escrever desta forma. Portanto, eu posso dizer que é "e" elevado ao logaritmo neperiano de "a" elevado a "x". Agora, vamos dar uma ajeitada aqui no expoente. Vamos colocar da forma d/dx de "e" elevado ao logaritmo neperiano de "a" vezes "x". Agora, nós podemos utilizar a regra da cadeia para derivar esta função. Então, como é que fica pela regra da cadeia? Nós vamos ter este termo que está em cima do "e". E nós temos "e" elevado a este termo. Então, quando derivarmos a primeira em relação a este termo, fica o próprio "e" elevado ao logaritmo neperiano de "a" vezes "x". Vezes a derivada da segunda. A derivada da segunda em relação a "x", o logaritmo neperiano de "a", é um número. Portanto, vai ser o próprio logaritmo neperiano de "a". Isso vai ser igual a quê? O logaritmo neperiano de "a", vamos só inverter a ordem, vezes "e" elevado ao logaritmo neperiano de "a" elevado a "x". Ora, mas quem é "e" elevado ao logaritmo neperiano de "a"? É o nosso "a". Portanto, ficamos com logaritmo neperiano de "a" vezes "a" elevado "x". Vamos ver uma aplicação. Vamos supor que você queira tirar a derivada de 8 vezes 3 elevado a "x" / "dx". Então, você fica, 8 é uma constante. Você vai ter 8 vezes, pelo que nós já vimos, 3 elevado a "x" vai ficar logaritmo neperiano de 3 vezes 3 elevado a "x".