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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 3
Lição 2: A regra da cadeia: mais prática- Exemplo resolvido: regra da cadeia com tabela
- Regra da cadeia com tabelas
- Derivada de aˣ (para qualquer base positiva a)
- Derivada de logₐx (para qualquer base positiva a≠1)
- Derivadas de aˣ e logₐx
- Exemplo resolvido: derivada de 7^(x²-x) usando a regra da cadeia
- Exemplo resolvido: derivada de log₄(x²+x) usando a regra da cadeia
- Exemplo resolvido: derivada de sec(3π/2-x) usando a regra da cadeia
- Exemplo resolvido: derivada de ∜(x³+4x²+7) usando a regra da cadeia
- O principal da regra da cadeia
- Demonstração da regra da cadeia
- Revisão de regras de derivação
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Exemplo resolvido: derivada de ∜(x³+4x²+7) usando a regra da cadeia
Neste vídeo, diferenciamos ∜(x³+4x²+7) e calculamos a derivada em x=-3.
Quer participar da conversa?
- No final do vídeo () você esqueceu de multiplicar o 3/32 por 3. A resposta correta, creio que seja 6/32 7:22(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA14C Olá, tudo bem? Neste vídeo, quero calcular com você a derivada da raiz quarta de:
x³ + 4x² + 7. Uma coisa interessante é que, quando você olha para esta
função aqui e deseja derivar, de cara, você vai perceber
que tem aqui uma função que está dentro de
uma outra função. A função x³ + 4x² está aqui, dentro dessa função ⁴√. Então, quando você tem uma
função composta desse jeito, em que uma função está
tomando uma outra função, e você deseja calcular a derivada
dessa função composta, acredito que a primeira coisa que
vem à sua mente é o seguinte: "Olha, podemos utilizar
a regra da cadeia!" De fato, isso é verdade. Quando você tem uma função
composta desse jeito, em que uma função está
tomando uma outra função, você pode derivar utilizando
a regra da cadeia. Mas, antes de calcular e
utilizar a regra da cadeia, vamos deixar essa raiz quarta
de uma forma um pouco melhor. De uma forma um pouco
mais calculável. Todos nós sabemos que,
quando temos a raiz de algo, basta pegar isso e elevar
à fração dessa raiz, e essa raiz é a que vai estar no
denominador dessa fração. Por exemplo, queremos calcular aqui a derivada em relação a x dessa ⁴√x³ + 4x² + 7.
Certo? Então, o que queremos aqui,
na verdade, é calcular a derivada dessa função em que temos aqui x³ + 4x² + 7. E essa função está
elevada a uma fração, em que temos o 1 no numerador e 4 no denominador. Isto aqui é a mesma coisa que ⁴√
dessa função aqui de dentro. Beleza? Se queremos calcular
essa derivada agora, temos uma função aqui dentro
de uma outra função. Como eu já falei agora mesmo, podemos fazer isso utilizando
a regra da cadeia. Para usar a regra da cadeia,
podemos dizer o seguinte, que esta função aqui dentro
seria uma função u(x). O que nós estamos fazendo aqui é pegando essa função u(x)
e elevando a 1/4. Para derivar calculando
a regra da cadeia, podemos derivar a função
de fora em relação a u, e derivar esta função aqui
de dentro em relação a x. Então, isso vai ser igual a quanto? A derivada, utilizando
a regra da cadeia, vai ser igual à derivada da função
de fora em relação a u. Para derivar função de fora, nós podemos utilizar
a regra da potência. Colocando esse expoente
na frente, teremos: 1/4 vezes tudo o que está ali dentro,
do jeito que está, ou seja, x³ + 4x² + 7, isso elevado a alguma coisa. Elevado a quanto? Como nós estamos usando
a regra da potência, colocamos aqui 1/4 - 1. Só que 1/4 - 1 é igual a quanto? A -3/4, certo? Então, podemos substituir
tudo isso por -3/4. Colocamos aqui -3/4. Então, já derivamos a função
de fora em relação a u. Vamos multiplicar
essa função de fora pela derivada da função
de dentro em relação a x. Ou seja, a derivada de u
em relação a x. A derivada desta função aqui
em relação a x vai ser igual a quanto? Para derivar essa função, ou seja, a derivada de u
em relação a x, podemos utilizar
a regra da potência. Como?
Colocando esse 3 aqui na frente. Vamos ter 3 vezes
x³⁻¹, que é 2. O mesmo aqui, colocamos o 2
aqui na frente. Vamos ter 2 vezes 4. E 2 vezes 4 = 8. Então, mais 8 vezes
x²⁻¹, que é 1. A derivada de 7 é zero,
já que 7 é uma constante. Toda derivada de uma constante
é sempre igual a zero. Então, a derivada de u(x) vai ser igual a 3x² + 8x. Podemos até colocar isso
já aqui na frente. Então, tudo isso vezes 3x² + 8x. Beleza, calculamos a derivada dessa
função utilizando a regra da cadeia. Bem, vamos fazer um
pequeno exemplo agora. Vamos supor que temos
a nossa função f(x), e que essa função f(x)
é exatamente aquilo ali: a raiz quarta de x³... Ou seja, x³ + 4x² + 7. Então, essa é a nossa função. Vamos supor que queiramos calcular
a derivada dessa função em x = -3. Bem, nós já calculamos aqui
a derivada da função, então, basta pegar esta expressão
e substituir x por -3. Nós vamos ter aqui:
1/4 vezes... x³ - 3³ = -27, mais... -3² é igual a 9 positivo, e 4 vezes 9 é igual a 36. Isso mais 7,
tudo elevado a -3/4, vezes... Aqui também vamos ter -3²,
que é 9, e 3 vezes 9 é igual a 27... 27 menos, porque aqui
vamos ter 8 vezes -3, e 8 vezes -3 é igual a -24. Então, vai ser mais -24,
que é -24. -27 + 36 + 7 = 16, já que -27 + 7 = -20... -20 + 36 = 16. Então, tudo isso é igual a 16. E 27 - 24 = 3. Então, vamos ter 1/4
vezes 16⁻³/⁴ vezes 3. Então, isso vai ser igual a: 1/4 vezes 3 = 3/4... 3/4 vezes quanto? Bem, aqui vamos ter 16. Certo? Aqui não temos -3/4? Podemos dividir isso, já que é a mesma coisa
que (16¹/⁴)⁻³. Beleza? Lembre-se de que todas
as vezes em que temos uma potência de uma potência, podemos repetir a base,
que aqui é 16, e multiplicar os expoentes. Se podemos fazer isso,
podemos fazer o contrário, desmembrar deste jeito aqui. (16¹/⁴) é a mesma que ⁴√16. E ⁴√16 = 2. Então, isto aqui é 2. E 2⁻³ é a mesma coisa que 1/2³. E 2³ = 8. Então, tudo isso é igual a 1/8. E vamos ter: 3 dividido por 4
vezes 1/8. 3 vezes 1 = 3. 4 vezes 8 = 32. Então, esta aqui seria a resposta. A derivada dessa função
no ponto x = -3 é igual a 3/32. Ou seja, a inclinação da reta tangente
que passa por essa função nesse ponto x = -3, vai ser igual a 3/32. Se plotarmos um gráfico
com essa função, nesse ponto x = -3, vamos
encontrar uma reta tangente em que essa reta tangente
tem uma inclinação igual a 3/32.