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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 3
Lição 2: A regra da cadeia: mais prática- Exemplo resolvido: regra da cadeia com tabela
- Regra da cadeia com tabelas
- Derivada de aˣ (para qualquer base positiva a)
- Derivada de logₐx (para qualquer base positiva a≠1)
- Derivadas de aˣ e logₐx
- Exemplo resolvido: derivada de 7^(x²-x) usando a regra da cadeia
- Exemplo resolvido: derivada de log₄(x²+x) usando a regra da cadeia
- Exemplo resolvido: derivada de sec(3π/2-x) usando a regra da cadeia
- Exemplo resolvido: derivada de ∜(x³+4x²+7) usando a regra da cadeia
- O principal da regra da cadeia
- Demonstração da regra da cadeia
- Revisão de regras de derivação
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Exemplo resolvido: derivada de sec(3π/2-x) usando a regra da cadeia
Neste vídeo, diferenciamos sec(3π/2-x) e calculamos a derivada em x=π/4.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - Vamos dizer que
eu tenha uma função "y" igual à secante
de "(3π/2) - x". E vamos dizer que eu queira
a derivada desta função. Ou seja, que eu queira derivar "y"
em relação a "x", em, ou seja,
no ponto "x = π/4". Então, nós temos aqui esta função
"y" igual à secante de "(3π/2) - x". E o que nós queremos
fazer, neste vídeo, é determinar a inclinação da
reta tangente, neste ponto "x = π/4". Ok, a primeira coisa
que nós temos que fazer aqui é determinar a
derivada desta função. E uma coisa que a gente pode observar
aqui é que nós temos uma função composta. Ou seja, a gente tem a secante
de uma outra função. Inclusive, a gente pode chamar
esta função aqui de u(x). Ou seja, u(x)
é esta função (3π/2) - x. Nós podemos também derivar
esta função aqui em relação a "x". Então, nós vamos
calcular aqui u'(x). Bem, se nós estamos
derivando em relação a "x", a gente sabe que
3π/2 é uma constante. E a derivada de uma constante
é sempre igual a zero. E a derivada de -x
vai ser igual -1. Lembre-se, que para fazer
a derivada de um polinômio, basta utilizar
a regra da potência. Aqui em cima
a gente tem 1. A gente coloca
este 1 aqui na frente. Então, a gente vai ter -1
vezes "x" elevado a (1 - 1), que a "x" elevado a zero, e todo
número elevado a zero é igual a 1. Então, a derivada de u(x)
é apenas igual a -1. Bem, agora sim a gente pode calcular
esta derivada de "y" em relação a "x". Tudo bem, a gente tem aqui
a secante de u(x), certo? Pelo fato de ser
uma função composta, para a derivar essa função "y",
a gente pode utilizar a regra da cadeia. Ou seja, derivar
a função de fora e multiplicar pela derivada
da função de dentro, que é u(x). Tudo bem, mas qual seria
a derivada da secante? A gente já viu isso aqui
em outros vídeos, mas não custa nada
dar uma relembrada. A derivada em relação a "x"
da secante de "x" é igual a
sen x / cos² x. Então, como eu falei agora, a gente
vai precisar utilizar a regra da cadeia para calcular a derivada
de "y" em relação a "x". Derivando a função
de fora, que é a secante, a gente vai ter "sen u(x)",
neste caso, sobre "cos² u(x)". Então, vamos
colocar isto aqui, A gente vai ter
sen u(x) / cos² u(x). Vamos colocar aqui u(x)
e aqui também u(x). A gente já poderia fazer
a substituição, tudo bem? Mas eu quero deixar
isto aqui deste jeito, para a gente conseguir observar
passo a passo o que está acontecendo. Vezes a derivada de u(x),
ou seja, u'(x). Beleza, agora, basta a gente
substituir o u(x) aqui, e o u'(x) aqui. Vamos lá! Isto aqui vai ser igual a
sen u(x) / cos² u(x), u(x), como a gente viu,
é "(3π/2) - x". Então, a gente coloca aqui
dentro do parênteses "(3π/2) - x". E aqui, também, "(3π/2) - x". Isto, vezes u'(x),
que é igual a -1. Então, a gente multiplica
tudo isso aqui por -1. Claro que eu já poderia
colocar este -1 aqui na frente, mas eu quis
deixar desta forma para que a gente
consiga observar tudo o que está acontecendo
aqui, passo a passo, ok? Beleza, então esta aqui é a
derivada da secante de "(3π/2) - x". Só que a gente quer esta
derivada em "x = π/4", certo? Então, a gente pode substituir
este "x" aqui por π/4. Então, vamos fazer
esta substituição. Vamos dizer que
este "x" é igual a π/4. E a mesma coisa aqui,
este "x" vai ser igual a π/4. E a gente vai ter aqui dentro
desses parênteses, "(3π/2) - π/4". Então, vamos fazer isto aqui
devagar aqui do lado, a gente tem
"3π/2" menos "π/4". A gente precisa colocar
os denominadores sendo iguais, então basta multiplicar
por 2 aqui no numerador, e aqui também, que aí
a gente vai ter 6π/4. Então, nós vamos
ter "6π/4" menos "π/4", e "(6π/4) - (π/4)"
é igual a 5π/4. Então, dentro dos nossos
parênteses aqui, a gente vai ter 5π/4. Então, a derivada
de "y" em relação a "x", neste ponto "x = π/4",
vai ser igual a menos, porque a gente
tem este "vezes -1" aqui, o seno de 5π/4,
vamos colocar aqui 5π/4, dividido pelo
cos² 5π/4. Então, não vamos esquecer que aqui
a gente tem este "menos", e este menos, na verdade, é este -1 aqui
que a gente está multiplicando. E aí, a gente tem tudo
isso aqui como resposta. Beleza, a gente já chegou à resposta,
mas seria interessante encontrar um valor, já que a gente tem condições
de calcular sen 5π/4 e cos² 5π/4
também. Para fazer isso, a gente pode
traçar o círculo trigonométrico. Deixe-me colocar aqui então,
mais ou menos dessa forma, mais ou menos aqui eu tenho
o círculo trigonométrico. Não é muito bem uma
circunferência, não. Mas eu acho que dá para a gente
observar o que eu quero falar, ok? O nosso ângulo
é 5π/4. Aqui a gente
tem π/4, aqui a gente
tem 2π/4, aqui a gente
tem 3π/4, aqui a gente
tem 4π/4, e aqui, a gente
tem 5π/4. Exatamente esse
ângulo aqui, 5π/4. A gente precisa
calcular sen 5π/4. Beleza, nesse ponto aqui
a gente tem condições de calcular tanto o seno
quanto o cosseno desse ângulo. E qual seria o seno
e o cosseno desse ângulo? Como a gente está no terceiro quadrante
desse círculo trigonométrico, tanto o seno quanto
o cosseno serão negativos. Assim, o cosseno desse ângulo vai
ser igual a menos raiz de 2 sobre 2, e o seno desse ângulo também vai
ser igual a menos raiz de 2 sobre 2. Então aqui nós temos tanto o cosseno
quanto o seno desse ângulo 5π/4. Então vamos lá, calcular tanto o seno
quanto o cosseno ao quadrado aqui. Inicialmente, a gente tem
sen 5π/4, certo? O sen 5π/4 é igual a
menos raiz de 2 sobre 2, então, nós temos aqui
-√2/2, certo? E aqui embaixo nós
vamos ter cos² 5π/4, ok? A gente sabe que
cos 5π/4 = -√2/2, então, nós vamos ter aqui -√2/2,
só que isso elevado ao quadrado, afinal de contas a gente quer
o cosseno elevado ao quadrado. Se a gente está elevando
isso aqui ao quadrado, um número negativo elevado ao quadrado
se transforma em um número positivo. E a raiz quadrada de 2
elevada ao quadrado é igual a 2. Aqui no denominador nós vamos ter 2²,
e 2² é igual a 4. 2 dividido por 4, ou 2/4,
é a mesma coisa que meio, ou seja, 1/2. Beleza, então o resultado disso aqui
vai ser igual a quanto? A gente tem um sinal negativo aqui,
e um sinal negativo aqui, certo? Um número negativo multiplicado
por outro número negativo se transforma em
um número positivo. Então, na verdade, a gente
vai ter aqui √2/2, positivo, isso dividido pelo cosseno
ao quadrado de 5π/4 ou seja,
dividido por 1/2, que é a mesma coisa que
multiplicar pelo inverso disso, ou seja 2/1. Beleza, a gente pode cortar
esse 2 com esse 2, e a raiz quadrada de 2/1
é igual à raiz quadrada de 2. Então, a resposta da derivada dessa
função em relação a "x" no ponto "x = π/4", que representa
a inclinação da reta tangente passando por esse
ponto "x = π/4", vai ser igual
à raiz quadrada de 2.