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Cálculo Avançado AB

Lição 3: Diferenciação implícita

Revisão da diferenciação implícita

Revise suas habilidades de diferenciação implícita e use-as para resolver problemas.

Na diferenciação implícita, calculamos a derivada de cada lado de uma equação com duas variáveis (geralmente

x

y

), tratando uma das variáveis como uma função da outra. Isso pede que usemos a regra da cadeia.

Por exemplo, vamos calcular a derivada de

x^{2} + y^{2} = 1

. Aqui, tratamos

y

como uma função implícita de

x

\begin{aligned} x^{2} + y^{2} & = 1 \\ \frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) & = \frac{d}{d x} (1) \\ \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (y^{2}) & = 0 \\ 2 x + 2 y \cdot \frac{d y}{d x} & = 0 \\ 2 y \cdot \frac{d y}{d x} & = - 2 x \\ \frac{d y}{d x} & = - \frac{x}{y} \end{aligned}

Observe que a derivada de

y^{2}

2 y \cdot \frac{d y}{d x}

, e não simplesmente

2 y

. Isso acontece porque tratamos

y

como uma função de

x

Quer ver uma explicação mais detalhada sobre diferenciação implícita? Confira este vídeo.

Problema 1

x^{2} + x y + y^{3} = 0

\frac{d y}{d x} = ?

Quer resolver outros problemas como este? Confira este exercício.

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