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Exemplo resolvido: cálculo da derivada com diferenciação implícita

Transcrição de vídeo

nós já vimos diversos exemplos sobre derivados implícitas mas nesse vídeo aqui além de determinar derivado em crista nós vamos encontrar reta tangente um determinado ponto específico no ponto x igual a um ok então o que nós vamos fazer aqui é observar essa função e determinada inclinação da reta tangente no ponto x igual a 1 nem só pra gente determinar a nossa função aqui e saber exatamente sobre qual ponto que nós estamos falando vamos resolver essa função aqui para x igual a um ok para fazer isso basta a gente substituir todos os x que estão nessa função por um então a gente vai ter aqui um ao quadrado que é o mais e pelo menos um elevado ao cubo e igual a 28 subtraindo por um dos dois lados aqui dessa expressão a gente vai ter um y - um elevado ao cubo sendo igual a 28 - o que é 2727 é a mesma coisa que três elevado ao cubo certo então a gente pode dizer que se a gente tem y - um elevado ao cubo sendo igual a 3 elevado ao cubo e y - 1 e se igual a 3 somando por um dos dois lados a gente tem que ir se long é igual a 3 mais um que é 4 então quando x por igual a gente vai ter um y igual a 4 então nós estamos falando aqui da inclinação da reta tangente a esse ponto x igual a 1 e y igual a 4 então se a gente observar que o gráfico dessa função que inclusive que inclusive eu pilotei esse gráfico aqui no o fla alfa se a gente está falando do x igual a 1 eo y igual a 4 a gente está falando exatamente desse ponto aqui então a gente quer a reta gente a inclinação da reta tangente a esse ponto como é que determina a inclinação da reta tangente a esse ponto calculando a derivada dessa função obviamente que quando você observar essa derivada você não vai conseguir fazer ela diretamente mas não se esqueça que isso se trata de uma derivada implícita e qual foi a técnica que a gente utilizou para resolver essa de elevada implícita derivando dos dois lados em relação à x então vamos levar essa função aqui dos dois lados em relação à x ok vamos continuar aqui em baixo então a gente quer calcular derivado em relação à xdx ao quadrado mais y - x elevado ao cubo e aí a gente deriva do outro lado também em relação à x elevada em relação à x de 28 ok beleza vamos lá então calcular essa derivada que em relação à x a derivada de x ao quadrado em relação à x é igual a 2 x certo mas pra fazer derivada de y - x elevado ao cubo em relação à x a gente vai utilizar a regra da cadeia agente deriva a função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro em relação à x pra deriva' assunção de fora basta utilizar a regra da potência a gente coloca três aqui na frente certo viso y - x elevado a 3 - 1 que a 2 isso vezes a derivada da função está aqui dentro então a gente vai derivar y em relação à x que é de y the xx - a derivada de x em relação à x que é igual a um certo e isso é igual a derivada de 28 a derivado de uma constante é sempre igual a zero então isso vai ser igual a zero beleza então vamos melhorar isso aqui um pouco a gente pode repetir-se 2x e resolver toda essa outra multiplicação aqui multiplicando esse termo por de y de x e multiplicando esse termo aqui por menos um assim a gente vai ter 2 x isso que tudo vezes - um vai ser igual a menos tudo isso aqui então menos três vezes y - x elevada ao quadrado mais tudo isso aqui vezes de y dx três vezes y - x elevada ao quadrado vezes de y the xx isso é igual a zero ok agora a gente pode esse termo aqui para o outro lado dessa igualdade subtraindo por esse termo dos dois lados é que dá igualdade assim a gente a lula essa parte fica apenas com esse termo do outro lado só que com os sinais trocados então desse lado que dá igualdade do lado esquerdo a gente vai ter três vezes y - x elevada ao quadrado de y dx isso aqui e sendo igual a esse termo todo só que com sinal trocado então a gente vai ter três vezes e y - x elevada ao quadrado - 2 x 1 e agora a gente pode dividir por esse tema que dos dois lados da equação assim a gente vai ter desse lado apenas o de y dx que é o que nós estamos querendo encontrar então vamos ter aqui de y dx igual sendo igual a três vezes o y - x elevada ao quadrado - 2 x 1 / três vezes e y - x elevada ao quadrado ok calculamos a derivada de y em relação à x não foi só que a gente quer essa derivada aqui em x igual a 1 no ponto x igual a 1 não é como a gente já calculou a função em x igual a 1 que é esse 4 ac basta a gente substituir todos os x por um e todos os simpsons por quatro assim a gente vai encontrar derivada de y em relação à x nesse ponto x igual a 1 então vamos fazer isso aqui agora isso é que vai ser igual a três vezes e y que é 4 mello x que é um elevado ao quadrado menos duas vezes x que é um dividido por três vezes y que a 4 - 1 que é o xis elevada ao quadrado isso aqui vai ser igual a quanto 4 - 1 e 33 elevada ao quadrado é 93 vezes 9 é igual a 27 então a gente vai ter 27 - menos duas vezes um que é 2 isso aqui vai ser igual a 27 -2 que é 25 / 4 - 1 e 3 3 ao quadrado é 9 e 3 vezes 9 é igual a 27 então a gente tem 25 / 27 e se 25 / 27 que é quase igual a 1 indica pra gente a inclinação da reta tangente nesse ponto aqui em que a gente tem um x igual a 1 eo y igual a 4 novamente falando esse gráfico aqui o pilotei lá no ou ferran alfa ok então se você quiser pilotar um gráfico parecido é só acessar este site colocar essa função que ele vai pilotar esse gráfico aqui pra você
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