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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 3
Lição 3: Diferenciação implícita- Diferenciação implícita
- Exemplo resolvido: diferenciação implícita
- Exemplo resolvido: cálculo da derivada com diferenciação implícita
- Diferenciação implícita
- Demonstração de como a diferenciação explícita e a implícita dão o mesmo resultado
- Revisão da diferenciação implícita
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Diferenciação implícita
Algumas relações não podem ser representadas por uma função explícita. Por exemplo, x²+y²=1. A diferenciação implícita nos ajuda a encontrar dy/dx mesmo para relações como essa. Isso é feito usando a regra da cadeia e visualizando y como uma função implícita de x. Por exemplo, de acordo com a regra da cadeia, a derivada de y² é 2y⋅(dy/dx). Versão original criada por Sal Khan.
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- quando ele mostrou a regra da cadeia ele deveria ter colocado embaixo dy e não dx...(5 votos)
- Na verdade, estava certo. Pois era a derivada de y em relação a x.(3 votos)
Transcrição de vídeo
RKA8JV - Aqui nós temos a função
"x² + y² = 1". Se a gente for colocando
todos os pontos aqui que satisfaçam esta igualdade, a gente vai conseguir traçar uma
circunferência com raio 1, ou seja, uma circunferência unitária. Tecnicamente, este gráfico aqui
é o que representa essa função. Vamos supor que eu queira determinar a inclinação de uma reta tangente em algum ponto aqui
ao longo desta circunferência. Por exemplo, neste ponto aqui, caso a gente queira determinar
a inclinação da reta tangente a este ou a qualquer outro ponto, basta calcular a derivada
desta função, certo? No entanto, a primeira impressão
que a gente tem é que isso aqui não
se trata de uma função, já que para qualquer valor em "x", a gente pode encontrar
dois pontos em "y". Então, dificilmente a gente
conseguiria calcular a derivada, já que a gente tem dois pontos
possíveis em "y" para "x". Porém, existe uma
saída para fazer isso. A gente poderia resolver esta função aqui
e resolver para o "y" em termos de "x". Por exemplo, a gente poderia
dizer que "y = √1 - x²", e aí a gente deriva isso para encontrar
a inclinação em um certo ponto para "x" com o "y" positivo. Mas a gente também teria
uma outra possibilidade, que seria o
"y = -√1 - x²". Então, se eu quero encontrar
o "y" positivo para um ponto em "x", eu derivo isto aqui e encontro a inclinação
naquele ponto. Se eu quero encontrar a inclinação
em um determinado ponto "x" em que o "y" é negativo, eu derivo isso aqui e encontro a inclinação naquele ponto. Isso aqui é uma forma, uma possibilidade, no entanto, eu quero
aproveitar este vídeo para encontrar uma forma
de derivar isso aqui sem que seja necessário desmembrar
esta função em duas funções. Para fazer isso, a gente vai
utilizar a regra da cadeia. Esse processo inclusive,
é chamado de derivada implícita. Então, vamos colocar
até o título aqui. Isto é uma derivada implícita, já que ela não está apresentada
de uma forma explícita. Para realizar o cálculo
desta derivada implícita, nós vamos utilizar a regra da cadeia. Então, vamos lá. A primeira coisa que a gente
precisa fazer aqui é derivar dos dois
lados dessa igualdade. Derivar em relação a "x". Então, vamos derivar em relação a "x", o primeiro lado aqui dessa igualdade, e também vamos levar em relação a "x", o segundo lado aqui dessa igualdade. O primeiro lado aqui
vai ser "x² + y²", então, vai ser a derivada
em relação a "x" de [x² + y²] e deste lado aqui vai ser
a derivada em relação a x[1]. Desse lado, a gente pode
aplicar a regra da soma, em que a derivada entre
a soma de duas funções é a soma das derivadas
dessas funções. Então, nós vamos ter a derivada
em relação a "x" de x² mais a derivada
em relação a "x" de y² e isso sendo igual à derivada
em relação a x[1], tudo bem? Então, vamos colocar aqui, d/dx [x²] + d/dx [y²], que é igual à derivada em relação a x[1]. Só que 1 é um
valor constante, certo? E a derivada de um
valor constante é igual a quanto? É igual a zero. Então, isso vai ser igual a zero. Rapidamente, a gente
consegue calcular d/dx [x²], não é? d/dx [x²] = 2x. Agora, qual seria d/dx [x²]? Bem, essa é muito fácil de resolver. d/dx [x²] = 2x. E qual seria d/dx [y²]? Aqui que nós precisamos aplicar
a regra da cadeia, já que "y" se trata
de uma função de "x". Então, o que nós precisamos fazer? Calcular a derivada
da função de fora e multiplicar pela derivada
da função de dentro. Então, a gente vai calcular o quê? Primeiro, a derivada
da função de fora, que é y², certo? Isso em relação a "x", e vai multiplicar com a derivada
da função interna, que é o "y", então dy/dx. Eu sei que desse jeito aqui
não fica algo muito explícito e não dá para visualizar direito, mas "y" se trata de uma função de "x". Então, seria até interessante a gente
colocar isso aqui de uma outra forma. Por exemplo, a gente poderia colocar
aqui do lado que isso aqui, na verdade, é "d/dx [y(x)",
já que "y" é uma função de "x", e essa função de "y" relação a "x"
elevada ao quadrado, porque aqui a gente só tem o "y", mas a gente não pode esquecer que o "y"
é uma função de "x", certo? E aí, ao aplicar a regra da cadeia, a gente tem isso aqui como produto, então, isso aqui é a regra da cadeia. Aplicando a regra da cadeia
a essa função, que é a mesma coisa que isso aqui, a gente tem como resultado
exatamente o quê? d(y²)/dx, e d(y²)/dx é igual a
2 vezes o y(x), certo? Vezes dy/dx. Então, a gente pega aqui
e deriva a função de fora, essa função de fora aqui, vai ser duas vezes y(x)
vezes a derivada da função de dentro, que é o "y",
então, dy/dx. Então, a derivada de [x² + y²]
em relação a "x" vai ser igual a
2x + d[(y(x))²]/dx, que é 2y vezes de dy/dx. Isso claro, sendo igual a zero. Então, o nosso objetivo aqui
é encontrar esta derivada, dy/dx, então, a gente pode resolver
esta equação aqui para este termo, que assim a gente vai
conseguir encontrar dy/dx. Então, vamos fazer isso. Vamos pegar toda essa parte
e repetir aqui em cima, só para a gente conseguir
visualizar melhor. Então, a gente tem
(2x + 2y) dy/dx, isso sendo igual a zero. Bem, a primeira coisa
que a gente pode fazer aqui é subtrair por 2x dos dois
lados dessa igualdade. Então, nós vamos ter 2y dy/dx, isso sendo igual a -2x, ok? A gente anula o 2x desse lado, já que a gente subtraiu
por 2x deste lado, e fica com menos 2x desse
outro lado direito aqui, beleza? Agora, o que a gente pode fazer é dividir por 2y dos dois lados
dessa igualdade. A gente divide aqui por 2y e divide por 2y aqui. Deste lado, a gente
vai anular esse 2y aqui e vamos ficar apenas com dy/dx, ficando com o 2y do outro lado aqui. Assim, a gente vai ter
menos 2x /2y, e diga-se de passagem, 2/2 = 1, então, a gente anula
este 2 com esse 2. Dessa forma, nós vamos ter que dy/dx, que é o que nós estamos
tentando encontrar, vai ser igual a -x/y. Assim, a gente conseguiu sim, chegar a uma expressão em que a
gente consegue calcular diretamente dy/dx, pegando apenas menos a razão entre
a coordenada "x" e a coordenada "y". Vamos ver se isso faz sentido? Vamos pegar um certo
ponto qualquer aqui. Por exemplo, vamos pegar um ponto
em que a gente já conheça os valores de "x" e "y", um ângulo que seja igual a 45°. Se a gente pegar esse ângulo
igual a 45° e perguntar: "quanto que vale a inclinação da
reta tangente a esse ponto?" A inclinação da reta que passa
este ponto aqui, desse jeito. A gente sabe que, neste ponto, quais são os valores de "x" e "y"? A coordenada "x"
vai ser igual a √2/2, e a coordenada "y"
também é igual a √2/2. Como o nosso objetivo é encontrar
a inclinação desta reta tangente, para a gente encontrar
a inclinação desta reta tangente, basta calcular a derivada. E quanto que vale a derivada aqui? dy/dx = -x/y. Nesse caso,
a gente vai ter -x, que é √2/2, dividido por "y",
que também é √2/2. Isso aqui vai ser igual a -1. Então, a inclinação da reta
tangente a este ponto aqui, em que o ângulo é igual a 45°, é igual a -1, que faz muito sentido. Se você observar a gente tem
uma inclinação negativa, certo? Uma inclinação negativa igual a 1. Então, esta aqui é uma forma que a gente pode calcular as
derivadas implícitas se aproveitando dessa ferramenta,
que é a regra da cadeia.