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Demonstração de como a diferenciação explícita e a implícita dão o mesmo resultado

Transcrição de vídeo

o objetivo desse vídeo é mostrar que o resultado do cálculo de uma derivada implícita vai ser igual ao resultado de uma elevada explicita e isso claro quando a gente poder calcular de forma explícita então vamos lá pra mostrar isso eu vou querer calcular derivada dessa função aqui x vezes a raiz quadrada de y que é igual ao nós temos uma função aqui x e y e o que nós vamos fazer é calculado e levada inicialmente de forma implícita e depois de forma explícita pra gente calcular derivada de forma implícita o que nós temos que fazer aqui é isolar o x do y então vamos fazer isso para isolar o x do y aqui ou seja colocar todos os temas que têm y de um lado e todos os termos que têm x do outro que nós podemos fazer a dividir ambos os lados da equação porches assim do lado esquerdo a gente vai ter apenas a raiz quadrada de y e no lado direito a gente vai ter um sobre x agora o que nós podemos fazer é elevar o quadrado dos dois lados da equação e levando ao quadrado aqui do lado esquerdo nós vamos ter a raiz quadrada de y elevada ao quadrado que é igual a y e aqui do lado direito nós vamos ter um ao quadrado que é um sobre x elevada ao quadrado e um sobre x elevada ao quadrado é a mesma coisa que x elevado a -2 agora que fizemos essa igualdade aqui e separamos o y do x a gente pode levar os dois lados em relação à x assim a gente vai ter aqui do lado esquerdo de y seja derivada de y em relação à x e do lado direito nós vamos ter a derivado em relação à x de x e levado ao menos 2 utilizando aqui a regra da potência nós vamos ter menos dois porque a gente pega esse expoente é que coloque na frente expoint a -2 então vamos ter menos 2 vezes e x elevado a - 2 - 1 que é igual a menos três e esse é o resultado que nós estávamos querendo encontrar a derivada de y em relação à x que é igual a menos do às vezes x elevado a -3 agora nós podemos calcular a derivada de forma explícita e como é que nós podemos fazer isso levando os dois lados da equação em relação à x então a gente deriva esse primeiro lado aqui o lado esquerdo em relação à x então vai ser derivada em relação à x de x vezes a raiz quadrada de y que é igual à que isso tudo aqui é igual a derivada em relação à x de um pra calcular derivada aqui do lado esquerdo como você pode observar nós temos um produto o produto entre x é a raiz quadrada de y então nós vamos precisar usá que a regra do produto e também a regra da cadeia já que nós temos aqui uma função a função y dentro de uma outra função que a raiz quadrada então por isso a gente precisa utilizar também a regra da cadeia então vamos lá vamos calcular a que essa derivado utilizando inicialmente a regra do produto ea regra do produto diz que a gente precisa calcular derivada do primeiro termo então vai ser derivado em relação à x desse primeiro termo aqui que é x pesos o segundo termo que a raiz quadrada de y depois a gente vai somar com o primeiro termo que é xis e vai multiplicar pela derivada do segundo termo gente vai multiplicar que como a derivado em relação à x do segundo termo que é a raiz quadrada de y isso igual a derivada que em relação à x de um é uma constante como sabemos é derivada de uma constante é sempre igual a zero então tudo isso vai ser igual a zero o que agora nós podemos começar a calcular essas derivadas aqui aqui nós temos a derivada em relação à x do próprio x enquanto que vale é derivado em relação à x do próprio x bem isso vai ser igual a 1 então nós vamos ter um vezes a raiz quadrada de y que é igual a própria raiz quadrada de y mas essa expressão é que então nós precisamos calcular essa expressão aqui nós já temos o x então a gente repete que o x subsistir a derivada em relação à x da raiz quadrada de y é aqui que nós precisamos utilizar a regra da cadeia porque nós temos que utilizar a regra da cadeia porque a gente precisa dele vá a função de fora em relação à y e multiplicar pela derivada da função de dentro em relação à x e qual é a derivada da raiz quadrada de y em relação à y é derivada da raiz quadrada de y em relação à y é igual a 1 sobre dois países y elevado a - um sobre dois não podemos esquecer que isso daqui é a derivada da raiz quadrada de y e isso em relação ao ípsilon lembre se que se a gente tivesse calculando a derivada da raiz quadrada de x em relação à x nós teríamos algo sendo igual a 1 sobre dois vizinhos x elevado a - um sobre dois mas aqui no caso como estamos derivando a raiz quadrada de y em relação à y nós vamos ter a mesma coisa só que ao invés de she's a gente vai ter o y elevado a - um sobre dois mas não se esqueça que isso daqui é a derivada da parte de fora certo da função externa a gente ainda precisa de levar a função interna em relação à x ea derivada da função interna vai ser derivada de y em relação à x então a gente vai multiplicar isso aqui e por de y dx que diga se de passagem é o que nós estamos querendo encontrar aqui nesse cálculo isso tudo igual a zero ok como o nosso objetivo é que encontrasse de y dx a primeira coisa que nós podemos fazer é trazer essa raiz quadrada de y aqui para o lado direito e para fazer isso basta subtrair pela raiz quadrada de y dos dois lados aqui da equação subtraindo pela raiz quadrada de y aqui do lado esquerdo a gente a lula essa raiz quadrada de y e fica apenas com x dividido por duas vezes a raiz quadrada de y isso vez y de x e claro como do lado esquerdo a gente também vai subtrair pela raiz quadrada de y a gente vai ter algo igual a menos a raiz quadrada de y beleza agora que a gente já chegou nessa parte aqui eu posso até copiar essa parte e trazer aqui pra cima pra gente terminar aqui ok agora que nós já chegamos a essa parte nós precisamos encontrar esse de y dx a gente pode dividir por x dos dois lados da equação e multiplicar por dois raiz de y dos dois lados da equação assim a gente anula essa parte aqui e fica apenas com de y de x então vamos ter algo igual aqui a de y dx sendo igual a duas vezes a raiz quadrada de y sobre x isso vezes esse - a raiz quadrada de y que trabalhando nessa expressão aqui do lado direito a gente tem de y the xx sendo igual a duas vezes a raiz quadrada de y vezes - a raiz quadrada de y assim a gente vai ter menos porque se - é que a gente pode colocar na frente duas vezes a raiz quadrada de y vezes a raiz quadrada de y é apenas y isso / x então encontramos aqui o resultado da derivada de y em relação à x mas aí você vai falar pra mim poxa olha só professores daqui está bem diferente disso daqui que a gente encontrou aqui em cima dessa parte aqui então por que isso está bem diferente bem se você observar aqui em cima y não é igual à x elevado a -2 a gente poderia fazer essa substituição aqui assim a gente teria algo sendo igual a subir um pouco mais aqui a gente teria algo sendo igual à de y dx que é igual a menos 2 vezes y que a x elevado - 2 x elevado a -2 e isso / x isso aki vai ser igual a menos 2 vezes ^ menos três já que esse xis aqui a gente pode colocar aqui no numerador como x elevado - um rx e levado ao menos 2 vezes x elevado a menos um é a mesma coisa que x elevado - três e isso aqui é idêntico a isso aquilo que a gente tinha calculado anteriormente então você pode perceber que quando você pode calcular de forma explícita quando é possível fazer isso o resultado vai ser o mesmo então independente da forma que você usar você vai chegar ao mesmo resultado
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