Conteúdo principal
Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 3
Lição 4: Derivação de funções inversasDerivadas de funções inversas
As funções f e g são inversas se f(g(x))=x=g(f(x)). As derivadas f' e g' de cada par de funções assim têm uma relação especial. Aprenda sobre essa relação e veja como isso se aplica a 𝑒ˣ e ln(x) (que são funções inversas!).
Quer participar da conversa?
Nenhuma postagem por enquanto.
Transcrição de vídeo
RKA3JV - E aí, pessoal!
Tudo bem? Nesta aula, nós vamos aprender
a derivar funções inversas. Então, vamos dizer que nós
temos duas funções inversas aqui. A primeira é a função f(x), e a função g(x) que é a inversa de f(x). Então, f⁻¹(x). E, claro, se você não lembra
o conceito de uma função inversa, eu sugiro que você revise
os vídeos da Khan Academy. E uma propriedade da função inversa é que se eu pegar "g"
composta de f(x), isso vai ser igual a "x". E isso vem da ideia de função. Por exemplo, se eu tenho
um conjunto de partida e neste conjunto eu tenho um elemento "x"
que é transformado em f(x) no conjunto de chegada, que é este segundo conjunto, uma função inversa pega o f(x)
e transforma em "x". E nós representamos esta função inversa por um "f" elevado a -1. E, claro, até agora nós só
vimos uma revisão de função inversa. Vamos aplicar este conceito no cálculo
utilizando a regra da cadeia? Primeiro, eu vou começar aplicando
a derivada em relação a "x" em ambos os membros desta equação. E aí, eu vou ter que a derivada
em relação a x de g(f(x))) vai ser igual à derivada em relação a "x" de "x". Deixe-me só apagar o "x"
e colocá-lo um pouco para o lado. Então, a derivada em relação a "x" de "x". E como resolvemos isso? Do lado esquerdo, nós devemos
aplicar a regra da cadeia. E isto vai ser igual à derivada
de "g" em relação a f(x). Ou seja, aplicando a regra da cadeia, nós vamos ter a derivada de g(f(x)) vezes a derivada da
função de dentro, que é f(x). Então, a derivada de f(x). Isto vai ser igual a quê? A derivada em relação "x" de "x" vai ser igual a 1. Você pode aplicar a regra
da potência neste "x" e vai encontrar facilmente 1. E podemos dividir ambos os membros
desta equação por g'(f(x)). E aí, vamos ficar com
a derivada de "x", que vai ser igual a 1, sobre a derivada de g(f(x)). Ou seja, para determinar a
derivada de uma função inversa, você utiliza esta relação. Isso é interessante,
porque a partir daqui nós conseguimos resolver
diversas derivadas. E vamos tentar utilizar isso em
algumas funções clássicas. Vamos dizer que nós temos aqui a função "e" elevado a "x", e a função inversa, que
vamos chamar de g(x), vai ser igual a "f" elevado a -1 de "x". E qual é a função inversa
de "e" elevado a "x"? Para descobrir isso,
nós chamamos f(x) de "y" e igualamos a "e" elevado a "x", e trocamos o "x" e o "y" ficando com "x" igual a "e" elevado a "y". E para resolver isso, nós podemos aplicar o logaritmo natural em ambos os membros da equação. Ficando com ln(x) = y. Portanto, a função inversa
de "e" elevado a "x" é a função ln(x). E, claro, todo este conceito
de funções inversas, nós já vimos em vídeos anteriores. Por isso, eu sugiro que
você dê uma olhada se você não entendeu esta parte. Então, a função g(x) vai ser igual ao logaritmo natural de "x". Ok, agora vamos ver se isto aqui
é verdade para estas duas funções. Primeiro, qual é a derivada de f(x)? Nós sabemos que a derivada
de "e" elevado a "x" é o próprio "e" elevado a "x". E de vídeos passados, nós também sabemos que a derivada
da função ln(x) = 1/x. Então, para testar se isso aqui é verdade, nós vamos pegar a derivada de f(x) que é "e" elevado a "x". Então, "e" elevado a "x" é igual a 1 sobre a derivada de g(f(x)). Sendo que g'(x) = 1/x. Portanto, 1/1 dividido
por "e" elevado a "x". Resolvendo isso, nós vamos ter
"e" elevado a "x". Ou seja, esta relação é verdadeira. Enfim, esta igualdade é bastante útil para calcular derivadas
de funções inversas. Eu espero que esta aula
tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!