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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 3
Lição 6: Seleção de procedimentos para o cálculo de derivadas: estratégiaEstratégia para diferenciar funções
A derivação tem muitas regras, e existem muitos modos diferentes de aplicá-las! Vamos dar uma olhada mais ampla na derivação e criar um método de trabalho que nos permita calcular a derivada de qualquer função de forma eficiente e sem erros.
Muitos alunos de cálculo, que sabem bem as regras de derivação, ainda têm dificuldade em aplicar a regra correta na situação adequada. Para diminuir esta dificuldade, devemos aprender a classificar rapidamente as funções, saber qual regra aplicar e, inclusive, reescrever funções de formas diferentes para facilitar a derivação.
Este é um resumo das regras de derivação mais comuns, para consulta.
Nome | Regra |
---|---|
Potência | |
Soma | |
Produto | |
Quociente | |
Cadeia |
Vamos nos concentrar nas três últimas regras, porque elas são normalmente as mais difíceis de aplicar.
Como identificar produtos, quocientes e composições
A maioria das regras de derivação nos informa como derivar um tipo específico de função, como a regra para a derivada de , ou regra da potência.
No entanto, existem três regras muito importantes, geralmente aplicáveis, mas que dependem da estrutura da função a ser derivada. São as regras do produto, do quociente e da cadeia, por isso fique atento a elas. Pergunte-se: "estou vendo um produto, um quociente ou uma composição de funções?"
Produto: se você encontrar algo como , repare que isso é o produto de duas funções. Sendo assim, é possível aplicar a regra do produto.
Quociente: da mesma forma, se você encontrar algo como , repare que isso é uma função sendo dividida por outra função, então a regra do quociente se aplicará.
Composição: por último, se você encontrar uma função como , tente pensar nela como uma função interna e uma função externa:
Este tipo de função é chamada de função composta e, para encontrar sua derivada, é possível aplicar a regra da cadeia.
Erro comum: esquecer de aplicar as regras do produto ou do quociente
Lembrete: calcular o produto das derivadas não é mesmo que aplicar a regra do produto.
Da mesma forma, calcular o quociente das derivadas não é a mesma coisa que aplicar a regra do quociente.
Erro comum: confundir a notação da função com multiplicação
Como vimos no problema 2, é uma função composta, na qual é a função externa e é a função interna. No entanto, algumas pessoas se confundem com essa notação e consideram-na o produto . Esta é uma função totalmente diferente, e derivá-la resultará em uma derivada errada.
É possível reescrever funções para facilitar sua derivação.
Temos que admitir: aplicar as regras do produto, do quociente e da cadeia pode dar muito trabalho. Principalmente, a regra do quociente. Então, por que nos daríamos todo esse trabalho, se ele não fosse necessário? Os três exemplos a seguir destacam alguns produtos e quocientes que podem ser reescritos a fim de facilitar a derivação.
Tornar as expressões mais fáceis de se derivar não é somente uma questão de conveniência; quanto menor e mais simples for a derivação, menores são as chances de você errar!
À vezes, é possível reescrever um produto como um polinômio simples.
Podemos aplicar a regra do produto para derivar , mas isso daria muito mais trabalho do que o necessário. Em vez disso, podemos simplesmente expandir a expressão para e, em seguida, aplicar a regra da potência para obter a derivada: .
Para mostrar que isso é realmente verdadeiro, veja como daria muito mais trabalho usar a regra do produto:
Regra do produto | Regra da potência |
---|---|
Para esclarecer: as duas formas estão corretas, mas usar a regra da potência poupará tempo e diminuirá as chances de erro durante a resolução.
Da mesma forma, alguns problemas de regra do quociente podem ser reescritos a fim de se usar a regra da potência
Poderíamos aplicar a regra do quociente para encontrar a derivada de . Porém, seria mais fácil dividir primeiro, obtendo , e então aplicar a regra da potência para obter a derivada de . Só temos que nos lembrar de que a função é indefinida para , e, portanto, sua derivada também é.
Se fizermos isso pelo caminho mais longo, com a regra do quociente, chegaremos ao mesmo resultado. No entanto, as chances de cometermos algum tipo de erro durante a resolução serão maiores.
Nem todo quociente pode ser reescrito desta maneira. Por exemplo, não pode ser simplificado como um polinômio
Lembrete: este método sempre poderá ser utilizado para quocientes cujo denominador seja um monômio.
Quando o denominador é um polinômio com mais de um termo, talvez seja possível simplificá-lo usando a fatoração e anulando os termos comuns.
Não se esqueça de considerar o domínio quando estiver reescrevendo quocientes.
Último exemplo: como reescrever um quociente na forma de um produto
Para muitas pessoas, é mais fácil se lembrar da regra do produto do que da regra do quociente. Felizmente, sempre podemos reescrever um quociente como um produto.
Suponha que quiséssemos derivar , mas não conseguíssemos nos lembrar da ordem dos termos na regra do quociente. Poderíamos, inicialmente, separar o numerador e o denominador em fatores separados e, então, reescrever o denominador utilizando um expoente negativo, de maneira a não termos mais quocientes.
Agora, estamos prontos para usar a regra do produto (observação: também poderíamos usar a regra da cadeia para trabalhar a parte interna da função raiz quadrada).
Quer praticar mais? Tente este exercício.
Dificuldade comum: pode ser bem complicado converter radicais ou funções inversas em potências se você não estiver familiarizado com o processo (exemplos: e ). Se quiser praticar mais esta habilidade, confira estes exercícios:
Resumo
Estar craque no cálculo de derivadas requer saber qual regra aplicar e quando aplicá-la. Assim como, enxergar as oportunidades de se reescrever as expressões de maneira a facilitar a derivação.
A seguir, um fluxograma que resume este processo:
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