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Cálculo Avançado AB

Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 3

Lição 6: Seleção de procedimentos para o cálculo de derivadas: estratégia
Matemática
Cálculo Avançado AB
Derivação: funções composta, implícita e inversa
Seleção de procedimentos para o cálculo de derivadas: estratégia
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Estratégia para diferenciar funções

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A derivação tem muitas regras, e existem muitos modos diferentes de aplicá-las! Vamos dar uma olhada mais ampla na derivação e criar um método de trabalho que nos permita calcular a derivada de qualquer função de forma eficiente e sem erros.
Muitos alunos de cálculo, que sabem bem as regras de derivação, ainda têm dificuldade em aplicar a regra correta na situação adequada. Para diminuir esta dificuldade, devemos aprender a classificar rapidamente as funções, saber qual regra aplicar e, inclusive, reescrever funções de formas diferentes para facilitar a derivação.
Este é um resumo das regras de derivação mais comuns, para consulta.
NomeRegra
Potênciastart fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, x, start superscript, n, end superscript, close bracket, equals, n, dot, x, start superscript, n, minus, 1, end superscript
Somastart fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, plus, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, close bracket, equals, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, plus, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c
Produtostart fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, dot, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, close bracket, equals, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, plus, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c
Quocientestart fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start fraction, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, end fraction, close bracket, equals, start fraction, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, minus, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, divided by, open bracket, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, close bracket, squared, end fraction
Cadeiastart fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start color #11accd, f, left parenthesis, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, right parenthesis, end color #11accd, close bracket, equals, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, right parenthesis, end color #11accd, dot, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c
Vamos nos concentrar nas três últimas regras, porque elas são normalmente as mais difíceis de aplicar.

Como identificar produtos, quocientes e composições

A maioria das regras de derivação nos informa como derivar um tipo específico de função, como a regra para a derivada de s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis, ou regra da potência.
No entanto, existem três regras muito importantes, geralmente aplicáveis, mas que dependem da estrutura da função a ser derivada. São as regras do produto, do quociente e da cadeia, por isso fique atento a elas. Pergunte-se: "estou vendo um produto, um quociente ou uma composição de funções?"
Produto: se você encontrar algo como start color #11accd, left parenthesis, x, squared, plus, 1, right parenthesis, end color #11accd, dot, start color #ca337c, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, repare que isso é o produto de duas funções. Sendo assim, é possível aplicar a regra do produto.
Quociente: da mesma forma, se você encontrar algo como start fraction, start color #11accd, square root of, x, end square root, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, end fraction, repare que isso é uma função sendo dividida por outra função, então a regra do quociente se aplicará.
Composição: por último, se você encontrar uma função como left parenthesis, 2, x, squared, minus, 4, right parenthesis, start superscript, 5, end superscript, tente pensar nela como uma função interna e uma função externa:
start color #11accd, start underbrace, left parenthesis, space, start color #ca337c, start overbrace, 2, x, squared, minus, 4, end overbrace, start superscript, start text, i, n, t, e, r, n, a, end text, end superscript, space, end color #ca337c, right parenthesis, start superscript, 5, end superscript, end underbrace, start subscript, start text, e, x, t, e, r, n, a, end text, end subscript, end color #11accd
Este tipo de função é chamada de função composta e, para encontrar sua derivada, é possível aplicar a regra da cadeia.
Problema 1
Jacó tentou encontrar a derivada de left parenthesis, x, squared, plus, 5, x, right parenthesis, dot, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis. Estes foram seus cálculos:
=ddx[(x2+5x)⋅sen⁡(x)]=ddx[x2+5x]⋅ddx[sen⁡(x)]=(2x+5)⋅cos⁡(x)=2x⋅cos⁡(x)+5⋅cos⁡(x)\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{d}{dx}[(x^2+5x)\cdot\operatorname{sen}(x)] \\\\ &=\dfrac{d}{dx}[x^2+5x]\cdot\dfrac{d}{dx}[\operatorname{sen}(x)] \\\\ &=(2x+5)\cdot\cos(x) \\\\ &=2x\cdot\cos(x)+5\cdot\cos(x) \end{aligned}
Os cálculos de Jacó estão corretos? Se não, que erro ele cometeu?
Escolha 1 resposta:

Erro comum: esquecer de aplicar as regras do produto ou do quociente

Lembrete: calcular o produto das derivadas não é mesmo que aplicar a regra do produto.
Da mesma forma, calcular o quociente das derivadas não é a mesma coisa que aplicar a regra do quociente.
Problema 2
Leonardo tentou encontrar a derivada de s, e, n, left parenthesis, x, squared, plus, 5, x, right parenthesis. Estes foram seus cálculos:
=ddx[sen⁡(x2+5x)]=ddx[sen⁡(x)⋅(x2+5x)]=ddx[sen⁡(x)]⋅(x2+5x)+sen⁡(x)⋅ddx[x2+5x]=cos⁡(x)(x2+5x)+sen⁡(x)(2x+5)\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{d}{dx}[\operatorname{sen}(x^2+5x)] \\\\ &=\dfrac{d}{dx}[\operatorname{sen}(x)\cdot(x^2+5x)] \\\\ &=\dfrac{d}{dx}[\operatorname{sen}(x)]\cdot(x^2+5x)+\operatorname{sen}(x)\cdot\dfrac{d}{dx}[x^2+5x] \\\\ &=\cos(x)(x^2+5x)+\operatorname{sen}(x)(2x+5) \end{aligned}
Os cálculos de Leonardo estão corretos? Se não, que erro ele cometeu?
Escolha 1 resposta:

Erro comum: confundir a notação da função com multiplicação

Como vimos no problema 2, start color #11accd, s, e, n, left parenthesis, start color #ca337c, x, squared, plus, 5, end color #ca337c, right parenthesis, end color #11accd é uma função composta, na qual start color #11accd, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd é a função externa e start color #ca337c, x, squared, plus, 5, end color #ca337c é a função interna. No entanto, algumas pessoas se confundem com essa notação e consideram-na o produto start color #11accd, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, left parenthesis, x, squared, plus, 5, right parenthesis, end color #ca337c. Esta é uma função totalmente diferente, e derivá-la resultará em uma derivada errada.

É possível reescrever funções para facilitar sua derivação.

Temos que admitir: aplicar as regras do produto, do quociente e da cadeia pode dar muito trabalho. Principalmente, a regra do quociente. Então, por que nos daríamos todo esse trabalho, se ele não fosse necessário? Os três exemplos a seguir destacam alguns produtos e quocientes que podem ser reescritos a fim de facilitar a derivação.
Tornar as expressões mais fáceis de se derivar não é somente uma questão de conveniência; quanto menor e mais simples for a derivação, menores são as chances de você errar!

À vezes, é possível reescrever um produto como um polinômio simples.

Podemos aplicar a regra do produto para derivar left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, mas isso daria muito mais trabalho do que o necessário. Em vez disso, podemos simplesmente expandir a expressão para x, squared, plus, 2, x, minus, 15 e, em seguida, aplicar a regra da potência para obter a derivada: 2, x, plus, 2.
Para mostrar que isso é realmente verdadeiro, veja como daria muito mais trabalho usar a regra do produto:
Regra do produtoRegra da potência
=ddx[(x+5)(x−3)]=ddx[x+5]⋅(x−3)+(x+5)⋅ddx[x−3]=(1)(x−3)+(x+5)(1)=x−3+x+5=2x+2\begin{aligned}&\phantom{=}\dfrac{d}{dx}[(x+5)(x-3)]\\\\&=\dfrac{d}{dx}[x+5]\cdot (x-3)+(x+5)\cdot \dfrac{d}{dx}[x-3]\\\\&=(1)(x-3)+(x+5)(1)\\\\&=x-3+x+5\\\\&=2x+2\end{aligned}=ddx[(x+5)(x−3)]=ddx[x2+2x−15]=2x+2\begin{aligned}&\phantom{=}\dfrac{d}{dx}[(x+5)(x-3)]\\\\&=\dfrac{d}{dx}[x^2+2x-15]\\\\&=2x+2\end{aligned}
Para esclarecer: as duas formas estão corretas, mas usar a regra da potência poupará tempo e diminuirá as chances de erro durante a resolução.
Problema 3
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 3, minus, 8, x, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, minus, 7, right parenthesis
Como você reescreveria f, left parenthesis, x, right parenthesis para que ela pudesse ser derivada usando a regra da potência?
Escolha 1 resposta:

Da mesma forma, alguns problemas de regra do quociente podem ser reescritos a fim de se usar a regra da potência

Poderíamos aplicar a regra do quociente para encontrar a derivada de start fraction, x, start superscript, 6, end superscript, minus, 8, x, cubed, divided by, 2, x, squared, end fraction. Porém, seria mais fácil dividir primeiro, obtendo 0, comma, 5, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 4, x, e então aplicar a regra da potência para obter a derivada de 2, x, cubed, minus, 4. Só temos que nos lembrar de que a função é indefinida para x, equals, 0, e, portanto, sua derivada também é.
Se fizermos isso pelo caminho mais longo, com a regra do quociente, chegaremos ao mesmo resultado. No entanto, as chances de cometermos algum tipo de erro durante a resolução serão maiores.
Nem todo quociente pode ser reescrito desta maneira. Por exemplo, start fraction, x, squared, plus, 5, x, minus, 14, divided by, x, minus, 7, end fraction não pode ser simplificado como um polinômio
Lembrete: este método sempre poderá ser utilizado para quocientes cujo denominador seja um monômio.
Quando o denominador é um polinômio com mais de um termo, talvez seja possível simplificá-lo usando a fatoração e anulando os termos comuns.
Não se esqueça de considerar o domínio quando estiver reescrevendo quocientes.
Problema 4
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, start superscript, 5, end superscript, minus, 2, x, cubed, minus, 8, x, squared, divided by, x, end fraction
Como você reescreveria f, left parenthesis, x, right parenthesis para que ela possa ser diferenciada usando a regra da potência?
Considere start text, x, end text, does not equal, start text, 0, end text.
Escolha 1 resposta:

Último exemplo: como reescrever um quociente na forma de um produto

Para muitas pessoas, é mais fácil se lembrar da regra do produto do que da regra do quociente. Felizmente, sempre podemos reescrever um quociente como um produto.
Suponha que quiséssemos derivar start fraction, square root of, x, plus, 3, end square root, divided by, x, start superscript, 4, end superscript, end fraction, mas não conseguíssemos nos lembrar da ordem dos termos na regra do quociente. Poderíamos, inicialmente, separar o numerador e o denominador em fatores separados e, então, reescrever o denominador utilizando um expoente negativo, de maneira a não termos mais quocientes.
x+3x4=x+3⋅1x4=x+3⋅x−4\begin{aligned}\dfrac{\sqrt{x+3}}{x^4}&=\sqrt{x+3}\cdot \dfrac{1}{x^4} \\\\ &=\sqrt{x+3}\cdot x^{-4} \end{aligned}
Agora, estamos prontos para usar a regra do produto (observação: também poderíamos usar a regra da cadeia para trabalhar a parte interna da função raiz quadrada).
Problema 5
h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, 3, x, end fraction
Como você reescreveria h, left parenthesis, x, right parenthesis para que ela pudesse ser derivada usando a regra do produto?
Escolha 1 resposta:

Quer praticar mais? Tente este exercício.
Dificuldade comum: pode ser bem complicado converter radicais ou funções inversas em potências se você não estiver familiarizado com o processo (exemplos: square root of, x, end square root, equals, x, start superscript, 1, slash, 2, end superscript e start fraction, 1, divided by, x, cubed, end fraction, equals, x, start superscript, minus, 3, end superscript). Se quiser praticar mais esta habilidade, confira estes exercícios:

Resumo

Estar craque no cálculo de derivadas requer saber qual regra aplicar e quando aplicá-la. Assim como, enxergar as oportunidades de se reescrever as expressões de maneira a facilitar a derivação.
A seguir, um fluxograma que resume este processo:
Um fluxograma resume 2 passos, como se segue. Passo 1. Categorize a função. As 3 categorias são produto ou quociente, função composta ou função básica. Exemplos de funções básicas incluem x elevado a n, seno de x, cosseno de x e elevado a x e o log natural de x. Se a função for um produto ou quociente, pergunte-se: você pode escrever a função de outra forma que seja mais fácil de diferenciar? Se sim, revise a função para representá-la de forma que seja mais fácil diferenciá-la, então volte para o passo 1. Caso contrário, vá para o passo 2. Se a função for uma função composta ou básica, vá para o passo 2. O passo 2 é diferenciar usando a regra da derivada adequada.

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