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Cálculo Avançado AB

Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 3

Lição 6: Seleção de procedimentos para o cálculo de derivadas: estratégia

Estratégia para diferenciar funções

A derivação tem muitas regras, e existem muitos modos diferentes de aplicá-las! Vamos dar uma olhada mais ampla na derivação e criar um método de trabalho que nos permita calcular a derivada de qualquer função de forma eficiente e sem erros.

Muitos alunos de cálculo, que sabem bem as regras de derivação, ainda têm dificuldade em aplicar a regra correta na situação adequada. Para diminuir esta dificuldade, devemos aprender a classificar rapidamente as funções, saber qual regra aplicar e, inclusive, reescrever funções de formas diferentes para facilitar a derivação.

Este é um resumo das regras de derivação mais comuns, para consulta.

Nome	Regra
Potência	$\frac{d}{d x} [x^{n}] = n \cdot x^{n - 1}$ ‍
Soma	$\frac{d}{d x} [f (x) + g (x)] = f^{'} (x) + g^{'} (x)$ ‍
Produto	$\frac{d}{d x} [f (x) \cdot g (x)] = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)$ ‍
Quociente	$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}] = \frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}}$ ‍
Cadeia	$\frac{d}{d x} [f (g (x))] = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ ‍

Vamos nos concentrar nas três últimas regras, porque elas são normalmente as mais difíceis de aplicar.

Como identificar produtos, quocientes e composições

A maioria das regras de derivação nos informa como derivar um tipo específico de função, como a regra para a derivada de

sen (x)

, ou regra da potência.

No entanto, existem três regras muito importantes, geralmente aplicáveis, mas que dependem da estrutura da função a ser derivada. São as regras do produto, do quociente e da cadeia, por isso fique atento a elas. Pergunte-se: "estou vendo um produto, um quociente ou uma composição de funções?"

Produto: se você encontrar algo como

(x^{2} + 1) \cdot sen (x)

, repare que isso é o produto de duas funções. Sendo assim, é possível aplicar a regra do produto.

Quociente: da mesma forma, se você encontrar algo como

\frac{\sqrt{x}}{\cos (x)}

, repare que isso é uma função sendo dividida por outra função, então a regra do quociente se aplicará.

Composição: por último, se você encontrar uma função como

(2 x^{2} - 4)^{5}

, tente pensar nela como uma função interna e uma função externa:

\underset{externa}{\underset{⏟}{(\overset{interna}{\overset{⏞}{2 x^{2} - 4}})^{5}}}

Este tipo de função é chamada de função composta e, para encontrar sua derivada, é possível aplicar a regra da cadeia.

Problema 1

Jacó tentou encontrar a derivada de

(x^{2} + 5 x) \cdot sen (x)

. Estes foram seus cálculos:

\begin{aligned} \frac{d}{d x} [(x^{2} + 5 x) \cdot sen (x)] \\ = \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x] \cdot \frac{d}{d x} [sen (x)] \\ = (2 x + 5) \cdot \cos (x) \\ = 2 x \cdot \cos (x) + 5 \cdot \cos (x) \end{aligned}

Os cálculos de Jacó estão corretos? Se não, que erro ele cometeu?

(Escolha A)
Os cálculos de Jacó estão corretos.
(Escolha B)
Os cálculos de Jacó estão incorretos. Ele não aplicou a regra da cadeia corretamente.
(Escolha C)
Os cálculos de Jacó estão incorretos. Ele não aplicou a regra do produto corretamente.
(Escolha D)
Os cálculos de Jacó estão incorretos. Ele não derivou $sen (x)$ ‍ corretamente.

[Exibir o método correto]

Erro comum: esquecer de aplicar as regras do produto ou do quociente

Lembrete: calcular o produto das derivadas não é mesmo que aplicar a regra do produto.

Da mesma forma, calcular o quociente das derivadas não é a mesma coisa que aplicar a regra do quociente.

Problema 2

Leonardo tentou encontrar a derivada de

sen (x^{2} + 5 x)

. Estes foram seus cálculos:

\begin{aligned} \frac{d}{d x} [sen (x^{2} + 5 x)] \\ = \frac{d}{d x} [sen (x) \cdot (x^{2} + 5 x)] \\ = \frac{d}{d x} [sen (x)] \cdot (x^{2} + 5 x) + sen (x) \cdot \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x] \\ = \cos (x) (x^{2} + 5 x) + sen (x) (2 x + 5) \end{aligned}

Os cálculos de Leonardo estão corretos? Se não, que erro ele cometeu?

(Escolha A)
Os cálculos de Leonardo estão corretos.
(Escolha B)
Os cálculos de Leonardo estão incorretos. Ele aplicou a regra do produto, em vez de aplicar a regra da cadeia.
(Escolha C)
Os cálculos de Leonardo estão incorretos. Ele não aplicou a regra do produto corretamente.
(Escolha D)
Os cálculos de Leonardo estão incorretos. Ele não derivou $x^{2} + 5 x$ ‍ corretamente.

[Exibir o método correto]

Erro comum: confundir a notação da função com multiplicação

Como vimos no problema 2,

sen (x^{2} + 5)

é uma função composta, na qual

sen (x)

é a função externa e

x^{2} + 5

é a função interna. No entanto, algumas pessoas se confundem com essa notação e consideram-na o produto

sen (x) (x^{2} + 5)

. Esta é uma função totalmente diferente, e derivá-la resultará em uma derivada errada.

É possível reescrever funções para facilitar sua derivação.

Temos que admitir: aplicar as regras do produto, do quociente e da cadeia pode dar muito trabalho. Principalmente, a regra do quociente. Então, por que nos daríamos todo esse trabalho, se ele não fosse necessário? Os três exemplos a seguir destacam alguns produtos e quocientes que podem ser reescritos a fim de facilitar a derivação.

Tornar as expressões mais fáceis de se derivar não é somente uma questão de conveniência; quanto menor e mais simples for a derivação, menores são as chances de você errar!

À vezes, é possível reescrever um produto como um polinômio simples.

Podemos aplicar a regra do produto para derivar

(x + 5) (x - 3)

, mas isso daria muito mais trabalho do que o necessário. Em vez disso, podemos simplesmente expandir a expressão para

x^{2} + 2 x - 15

e, em seguida, aplicar a regra da potência para obter a derivada:

2 x + 2

Para mostrar que isso é realmente verdadeiro, veja como daria muito mais trabalho usar a regra do produto:

Regra do produto	Regra da potência
$\begin{aligned} \frac{d}{d x} [(x + 5) (x - 3)] \\ = \frac{d}{d x} [x + 5] \cdot (x - 3) + (x + 5) \cdot \frac{d}{d x} [x - 3] \\ = (1) (x - 3) + (x + 5) (1) \\ = x - 3 + x + 5 \\ = 2 x + 2 \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} \frac{d}{d x} [(x + 5) (x - 3)] \\ = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 15] \\ = 2 x + 2 \end{aligned}$ ‍

Para esclarecer: as duas formas estão corretas, mas usar a regra da potência poupará tempo e diminuirá as chances de erro durante a resolução.

Problema 3

f (x) = (3 - 8 x) (2 x - 7)

Como você reescreveria $f (x)$ ‍ para que ela pudesse ser derivada usando a regra da potência?

Da mesma forma, alguns problemas de regra do quociente podem ser reescritos a fim de se usar a regra da potência

Poderíamos aplicar a regra do quociente para encontrar a derivada de

\frac{x^{6} - 8 x^{3}}{2 x^{2}}

. Porém, seria mais fácil dividir primeiro, obtendo

0, 5 x^{4} - 4 x

, e então aplicar a regra da potência para obter a derivada de

2 x^{3} - 4

. Só temos que nos lembrar de que a função é indefinida para

x = 0

, e, portanto, sua derivada também é.

Se fizermos isso pelo caminho mais longo, com a regra do quociente, chegaremos ao mesmo resultado. No entanto, as chances de cometermos algum tipo de erro durante a resolução serão maiores.

[Mostrar como isso é feito com a regra do quociente.]

Nem todo quociente pode ser reescrito desta maneira. Por exemplo,

\frac{x^{2} + 5 x - 14}{x - 7}

não pode ser simplificado como um polinômio

Lembrete: este método sempre poderá ser utilizado para quocientes cujo denominador seja um monômio.

Quando o denominador é um polinômio com mais de um termo, talvez seja possível simplificá-lo usando a fatoração e anulando os termos comuns.

Não se esqueça de considerar o domínio quando estiver reescrevendo quocientes.

Problema 4

f (x) = \frac{x^{5} - 2 x^{3} - 8 x^{2}}{x}

Como você reescreveria $f (x)$ ‍ para que ela possa ser diferenciada usando a regra da potência?
Considere $x \neq 0$ ‍.

Último exemplo: como reescrever um quociente na forma de um produto

Para muitas pessoas, é mais fácil se lembrar da regra do produto do que da regra do quociente. Felizmente, sempre podemos reescrever um quociente como um produto.

Suponha que quiséssemos derivar

\frac{\sqrt{x + 3}}{x^{4}}

, mas não conseguíssemos nos lembrar da ordem dos termos na regra do quociente. Poderíamos, inicialmente, separar o numerador e o denominador em fatores separados e, então, reescrever o denominador utilizando um expoente negativo, de maneira a não termos mais quocientes.

\begin{aligned} \frac{\sqrt{x + 3}}{x^{4}} & = \sqrt{x + 3} \cdot \frac{1}{x^{4}} \\ = \sqrt{x + 3} \cdot x^{- 4} \end{aligned}

Agora, estamos prontos para usar a regra do produto (observação: também poderíamos usar a regra da cadeia para trabalhar a parte interna da função raiz quadrada).

Problema 5

h (x) = \frac{sen (x)}{3 x}

Como você reescreveria $h (x)$ ‍ para que ela pudesse ser derivada usando a regra do produto?

Quer praticar mais? Tente este exercício.

Dificuldade comum: pode ser bem complicado converter radicais ou funções inversas em potências se você não estiver familiarizado com o processo (exemplos:

\sqrt{x} = x^{1 / 2}

\frac{1}{x^{3}} = x^{- 3}

). Se quiser praticar mais esta habilidade, confira estes exercícios:

Resumo

Estar craque no cálculo de derivadas requer saber qual regra aplicar e quando aplicá-la. Assim como, enxergar as oportunidades de se reescrever as expressões de maneira a facilitar a derivação.

A seguir, um fluxograma que resume este processo:

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