Conteúdo principal
Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 3
Lição 6: Seleção de procedimentos para o cálculo de derivadas: estratégiaEstratégia para diferenciar funções
A derivação tem muitas regras, e existem muitos modos diferentes de aplicá-las! Vamos dar uma olhada mais ampla na derivação e criar um método de trabalho que nos permita calcular a derivada de qualquer função de forma eficiente e sem erros.
Muitos alunos de cálculo, que sabem bem as regras de derivação, ainda têm dificuldade em aplicar a regra correta na situação adequada. Para diminuir esta dificuldade, devemos aprender a classificar rapidamente as funções, saber qual regra aplicar e, inclusive, reescrever funções de formas diferentes para facilitar a derivação.
Este é um resumo das regras de derivação mais comuns, para consulta.
Nome | Regra |
---|---|
Potência | start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, x, start superscript, n, end superscript, close bracket, equals, n, dot, x, start superscript, n, minus, 1, end superscript |
Soma | start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, plus, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, close bracket, equals, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, plus, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c |
Produto | start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, dot, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, close bracket, equals, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, plus, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c |
Quociente | start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start fraction, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, end fraction, close bracket, equals, start fraction, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, minus, start color #11accd, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, divided by, open bracket, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, close bracket, squared, end fraction |
Cadeia | start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start color #11accd, f, left parenthesis, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, right parenthesis, end color #11accd, close bracket, equals, start color #11accd, f, prime, left parenthesis, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, right parenthesis, end color #11accd, dot, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c |
Vamos nos concentrar nas três últimas regras, porque elas são normalmente as mais difíceis de aplicar.
Como identificar produtos, quocientes e composições
A maioria das regras de derivação nos informa como derivar um tipo específico de função, como a regra para a derivada de s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis, ou regra da potência.
No entanto, existem três regras muito importantes, geralmente aplicáveis, mas que dependem da estrutura da função a ser derivada. São as regras do produto, do quociente e da cadeia, por isso fique atento a elas. Pergunte-se: "estou vendo um produto, um quociente ou uma composição de funções?"
Produto: se você encontrar algo como start color #11accd, left parenthesis, x, squared, plus, 1, right parenthesis, end color #11accd, dot, start color #ca337c, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, repare que isso é o produto de duas funções. Sendo assim, é possível aplicar a regra do produto.
Quociente: da mesma forma, se você encontrar algo como start fraction, start color #11accd, square root of, x, end square root, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, end fraction, repare que isso é uma função sendo dividida por outra função, então a regra do quociente se aplicará.
Composição: por último, se você encontrar uma função como left parenthesis, 2, x, squared, minus, 4, right parenthesis, start superscript, 5, end superscript, tente pensar nela como uma função interna e uma função externa:
Este tipo de função é chamada de função composta e, para encontrar sua derivada, é possível aplicar a regra da cadeia.
Erro comum: esquecer de aplicar as regras do produto ou do quociente
Lembrete: calcular o produto das derivadas não é mesmo que aplicar a regra do produto.
Da mesma forma, calcular o quociente das derivadas não é a mesma coisa que aplicar a regra do quociente.
Erro comum: confundir a notação da função com multiplicação
Como vimos no problema 2, start color #11accd, s, e, n, left parenthesis, start color #ca337c, x, squared, plus, 5, end color #ca337c, right parenthesis, end color #11accd é uma função composta, na qual start color #11accd, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd é a função externa e start color #ca337c, x, squared, plus, 5, end color #ca337c é a função interna. No entanto, algumas pessoas se confundem com essa notação e consideram-na o produto start color #11accd, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, start color #ca337c, left parenthesis, x, squared, plus, 5, right parenthesis, end color #ca337c. Esta é uma função totalmente diferente, e derivá-la resultará em uma derivada errada.
É possível reescrever funções para facilitar sua derivação.
Temos que admitir: aplicar as regras do produto, do quociente e da cadeia pode dar muito trabalho. Principalmente, a regra do quociente. Então, por que nos daríamos todo esse trabalho, se ele não fosse necessário? Os três exemplos a seguir destacam alguns produtos e quocientes que podem ser reescritos a fim de facilitar a derivação.
Tornar as expressões mais fáceis de se derivar não é somente uma questão de conveniência; quanto menor e mais simples for a derivação, menores são as chances de você errar!
À vezes, é possível reescrever um produto como um polinômio simples.
Podemos aplicar a regra do produto para derivar left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, mas isso daria muito mais trabalho do que o necessário. Em vez disso, podemos simplesmente expandir a expressão para x, squared, plus, 2, x, minus, 15 e, em seguida, aplicar a regra da potência para obter a derivada: 2, x, plus, 2.
Para mostrar que isso é realmente verdadeiro, veja como daria muito mais trabalho usar a regra do produto:
Regra do produto | Regra da potência |
---|---|
Para esclarecer: as duas formas estão corretas, mas usar a regra da potência poupará tempo e diminuirá as chances de erro durante a resolução.
Da mesma forma, alguns problemas de regra do quociente podem ser reescritos a fim de se usar a regra da potência
Poderíamos aplicar a regra do quociente para encontrar a derivada de start fraction, x, start superscript, 6, end superscript, minus, 8, x, cubed, divided by, 2, x, squared, end fraction. Porém, seria mais fácil dividir primeiro, obtendo 0, comma, 5, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 4, x, e então aplicar a regra da potência para obter a derivada de 2, x, cubed, minus, 4. Só temos que nos lembrar de que a função é indefinida para x, equals, 0, e, portanto, sua derivada também é.
Se fizermos isso pelo caminho mais longo, com a regra do quociente, chegaremos ao mesmo resultado. No entanto, as chances de cometermos algum tipo de erro durante a resolução serão maiores.
Nem todo quociente pode ser reescrito desta maneira. Por exemplo, start fraction, x, squared, plus, 5, x, minus, 14, divided by, x, minus, 7, end fraction não pode ser simplificado como um polinômio
Lembrete: este método sempre poderá ser utilizado para quocientes cujo denominador seja um monômio.
Quando o denominador é um polinômio com mais de um termo, talvez seja possível simplificá-lo usando a fatoração e anulando os termos comuns.
Não se esqueça de considerar o domínio quando estiver reescrevendo quocientes.
Último exemplo: como reescrever um quociente na forma de um produto
Para muitas pessoas, é mais fácil se lembrar da regra do produto do que da regra do quociente. Felizmente, sempre podemos reescrever um quociente como um produto.
Suponha que quiséssemos derivar start fraction, square root of, x, plus, 3, end square root, divided by, x, start superscript, 4, end superscript, end fraction, mas não conseguíssemos nos lembrar da ordem dos termos na regra do quociente. Poderíamos, inicialmente, separar o numerador e o denominador em fatores separados e, então, reescrever o denominador utilizando um expoente negativo, de maneira a não termos mais quocientes.
Agora, estamos prontos para usar a regra do produto (observação: também poderíamos usar a regra da cadeia para trabalhar a parte interna da função raiz quadrada).
Quer praticar mais? Tente este exercício.
Dificuldade comum: pode ser bem complicado converter radicais ou funções inversas em potências se você não estiver familiarizado com o processo (exemplos: square root of, x, end square root, equals, x, start superscript, 1, slash, 2, end superscript e start fraction, 1, divided by, x, cubed, end fraction, equals, x, start superscript, minus, 3, end superscript). Se quiser praticar mais esta habilidade, confira estes exercícios:
Resumo
Estar craque no cálculo de derivadas requer saber qual regra aplicar e quando aplicá-la. Assim como, enxergar as oportunidades de se reescrever as expressões de maneira a facilitar a derivação.
A seguir, um fluxograma que resume este processo:
Quer participar da conversa?
Nenhuma postagem por enquanto.