Como aplicar as regras do produto e da cadeia

RKA3JV - E aí, pessoal. Tudo bem? Nesta aula, nós vamos fazer um exercício utilizando a regra da cadeia e a regra do produto. E, para isso, eu tenho a derivada em relação a "x" de x² vezes o seno de x³. E eu vou resolver esta derivada utilizando a regra da cadeia e a regra do produto. Ou seja, eu vou mostrar que é possível resolver uma mesma derivada utilizando vários métodos. Eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver isto sozinho. Como eu disse, existem várias técnicas e vários meios de resolver esta derivada. Inicialmente, eu vou resolver utilizando a regra da cadeia. E isso significa fazer a derivada de alguma coisa elevada ao cubo. E lembrando que a derivada de alguma coisa ao cubo é igual a 3 vezes essa coisa ao quadrado. Portanto, a derivada disso vai ser igual a 3 vezes alguma expressão elevada ao quadrado. E como estamos utilizando a regra da cadeia, nós multiplicamos isso pela derivada em relação a "x" desta mesma expressão. Mas que expressão é esta que eu estou falando? É este x² vezes o seno de "x". Então, eu posso colocar aqui x² vezes o seno de "x". E aqui, x² vezes o seno de "x". Isto aqui é a aplicação da regra da cadeia. Então, deixe-me apagar isto aqui e vamos continuar resolvendo. Como eu posso derivar esta parte aqui? Se você perceber, nós temos duas funções se multiplicando. Com isso, nós podemos utilizar a regra do produto para derivadas. É a melhor estratégia neste caso. E, resolvendo, nós vamos ter a derivada de x² que é 2x vezes a segunda função, que é seno de "x", mais a primeira função que é x², vezes a derivada de seno de "x", que é cosseno de "x". Ou seja, nós aplicamos a regra do produto à esta parte. E, agora, nós devemos pegar esta parte e multiplicar por esta aqui. Mas será que conseguimos ajeitar esta expressão primeiro? Veja bem, nós temos um x² elevado a um quadrado, que vai dar x⁴. E temos um seno de x², também tem este 3 aqui do lado de fora. Portanto, vamos ficar com 3 vezes x⁴ vezes sen²x. E, claro, nós multiplicamos isto por toda esta expressão. E para resolver isso, nós podemos utilizar a distributiva. Vamos ver o que achamos aqui? Olha, 3 vezes 2 vai ser igual a 6. x⁴ vezes "x" vai ser igual a x⁵. E sen²x vezes o senx vai ser igual a sen³x. Mais esta expressão vezes esta. E aí, vamos ficar com 3 vezes 1, que vai dar 3. x⁴ vezes x² vai dar x⁶. E sen²x vezes o cosx vai dar sen²x vezes o cosx. Pronto! Resolvemos esta derivada utilizando a regra da cadeia e a regra do produto. E qual seria uma outra estratégia? Eu sugiro que você pause o vídeo e tente achar sozinho. Uma boa estratégia seria, em vez de aplicar a regra da cadeia direto aqui, nós resolvermos este cubo. Ou seja, calcular a derivada em relação a "x" de (x²)³, que vai dar x⁶ vezes o senx elevado ao cubo, que vai dar sen³x. Basicamente, antes de derivar a função, nós só simplificamos esta parte. Basicamente, eu só apliquei a propriedade de potência de potência. "a" elevado a "n" elevado a "m" é igual a "a" elevado a "n" vezes "m". Eu fiz isso para cada uma destas funções. E como podemos resolver isso aqui? Neste caso, o ideal é utilizar a regra do produto. E fazendo isso, nós vamos ter a derivada de x⁶ que é a primeira função. Isso vai ser igual a 6x⁵ vezes a segunda função, que é sen³x, mais primeira função, que é x⁶ vezes a derivada em relação a "x" da segunda função, que é sen³x. Agora, para resolver esta derivada, o ideal é utilizar a regra da cadeia. E note que a função seno de "x" está dentro da função cubo. Portanto, se utilizarmos a regra da cadeia, nós vamos derivar a função cubo, que vai ser 3 vezes alguma coisa elevado ao quadrado. E que algo é este? É a função seno de "x". Então, seno de "x" aqui. E multiplicamos isso pela derivada da função seno de "x", que é cosseno de "x". E, claro, eu posso colocar esta parte aqui também. Então, 6x⁵ vezes o sen³x + x⁶, que multiplica a parte em azul. E se eu simplificar toda esta expressão, nós vamos ter esta mesma coisa. Ou seja, esta parte é igual a esta aqui. E esta outra vai ser igual se você resolver aqui. Ou seja, elas são expressões equivalentes. Mas, enfim, o ponto desta aula é que você pode resolver uma mesma derivada utilizando duas estratégias diferentes. Neste primeiro caso, eu utilizei a regra da cadeia e depois a regra do produto. Enquanto aqui, utilizamos a regra do produto e depois a regra da cadeia. O ideal é você buscar uma estratégia que tome o menor tempo possível. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!