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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 3
Lição 7: Seleção de procedimentos para o cálculo de derivadas: regras múltiplas- Derivação com várias regras: estratégia
- Derivação com várias regras: estratégia
- Como aplicar as regras do produto e da cadeia
- Aplicando a regra da cadeia duas vezes
- Derivada de eᶜᵒˢˣ⋅cos(eˣ)
- Derivada de sen(ln(x²))
- Cálculo da derivada usando várias regras
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Como aplicar as regras do produto e da cadeia
Exemplo mostrando várias estratégias para calcular uma derivada que envolve tanto a regra do produto quanto a regra da cadeia.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - E aí, pessoal.
Tudo bem? Nesta aula, nós vamos fazer um exercício utilizando a regra da cadeia
e a regra do produto. E, para isso, eu tenho
a derivada em relação a "x" de x² vezes o seno de x³. E eu vou resolver esta derivada utilizando a regra da cadeia
e a regra do produto. Ou seja, eu vou mostrar que é possível resolver uma mesma derivada
utilizando vários métodos. Eu sugiro que você pause o vídeo
e tente resolver isto sozinho. Como eu disse, existem várias técnicas e vários meios de resolver esta derivada. Inicialmente, eu vou resolver
utilizando a regra da cadeia. E isso significa fazer a derivada de
alguma coisa elevada ao cubo. E lembrando que a derivada
de alguma coisa ao cubo é igual a 3 vezes essa coisa ao quadrado. Portanto, a derivada disso vai ser igual a 3 vezes alguma
expressão elevada ao quadrado. E como estamos utilizando
a regra da cadeia, nós multiplicamos isso pela derivada
em relação a "x" desta mesma expressão. Mas que expressão é esta
que eu estou falando? É este x² vezes o seno de "x". Então, eu posso colocar aqui
x² vezes o seno de "x". E aqui, x² vezes o seno de "x". Isto aqui é a aplicação
da regra da cadeia. Então, deixe-me apagar isto aqui e vamos continuar resolvendo. Como eu posso derivar esta parte aqui? Se você perceber, nós temos
duas funções se multiplicando. Com isso, nós podemos utilizar a regra
do produto para derivadas. É a melhor estratégia neste caso. E, resolvendo, nós vamos ter
a derivada de x² que é 2x vezes a segunda função,
que é seno de "x", mais a primeira função que é x², vezes a derivada de seno de "x", que é cosseno de "x". Ou seja, nós aplicamos a regra
do produto à esta parte. E, agora, nós devemos pegar esta parte
e multiplicar por esta aqui. Mas será que conseguimos ajeitar
esta expressão primeiro? Veja bem, nós temos um x²
elevado a um quadrado, que vai dar x⁴. E temos um seno de x², também tem
este 3 aqui do lado de fora. Portanto, vamos ficar com
3 vezes x⁴ vezes sen²x. E, claro, nós multiplicamos isto
por toda esta expressão. E para resolver isso,
nós podemos utilizar a distributiva. Vamos ver o que achamos aqui? Olha, 3 vezes 2
vai ser igual a 6. x⁴ vezes "x"
vai ser igual a x⁵. E sen²x vezes o senx
vai ser igual a sen³x. Mais esta expressão vezes esta. E aí, vamos ficar com 3 vezes 1,
que vai dar 3. x⁴ vezes x²
vai dar x⁶. E sen²x vezes o cosx vai dar sen²x vezes o cosx. Pronto! Resolvemos esta derivada
utilizando a regra da cadeia e a regra do produto. E qual seria uma outra estratégia? Eu sugiro que você pause o vídeo
e tente achar sozinho. Uma boa estratégia seria, em vez de aplicar a
regra da cadeia direto aqui, nós resolvermos este cubo. Ou seja, calcular a derivada
em relação a "x" de (x²)³,
que vai dar x⁶ vezes o senx elevado ao cubo, que vai dar sen³x. Basicamente, antes de derivar a função, nós só simplificamos esta parte. Basicamente, eu só apliquei a propriedade
de potência de potência. "a" elevado a "n" elevado a "m" é igual a "a" elevado a "n" vezes "m". Eu fiz isso para cada uma destas funções. E como podemos resolver isso aqui? Neste caso, o ideal é utilizar
a regra do produto. E fazendo isso, nós vamos
ter a derivada de x⁶ que é a primeira função. Isso vai ser igual a 6x⁵
vezes a segunda função, que é sen³x, mais primeira função, que é x⁶ vezes a derivada
em relação a "x" da segunda função, que é sen³x. Agora, para resolver esta derivada, o ideal é utilizar a regra da cadeia. E note que a função seno de "x"
está dentro da função cubo. Portanto, se utilizarmos
a regra da cadeia, nós vamos derivar a função cubo, que vai ser 3 vezes alguma coisa elevado ao quadrado. E que algo é este? É a função seno de "x". Então, seno de "x" aqui. E multiplicamos isso pela derivada
da função seno de "x", que é cosseno de "x". E, claro, eu posso colocar
esta parte aqui também. Então, 6x⁵ vezes o sen³x + x⁶, que multiplica a parte em azul. E se eu simplificar toda esta expressão, nós vamos ter esta mesma coisa. Ou seja, esta parte é igual a esta aqui. E esta outra vai ser igual
se você resolver aqui. Ou seja, elas são expressões equivalentes. Mas, enfim, o ponto desta aula é que você pode resolver
uma mesma derivada utilizando duas estratégias diferentes. Neste primeiro caso, eu utilizei a regra da cadeia e depois a regra do produto. Enquanto aqui, utilizamos a regra do produto
e depois a regra da cadeia. O ideal é você buscar uma estratégia que tome o menor tempo possível. Eu espero que esta aula
tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!