Derivadas de segunda ordem (equações implícitas): calcular a derivada

RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos resolver um exercício sobre derivada segunda. Esse exercício diz o seguinte: considere a curva dada pela equação y³ menos xy é igual a 2. Temos que a derivada primeira de y em relação a x é igual a isso aqui. Então o problema já resolveu essa parte para a gente. Avalie a segunda derivada de y em relação a x no ponto da curva onde x é igual a -1 e y é igual a 1. Então, meu amigo ou minha amiga, pause esse vídeo e veja se você consegue fazer isso. Vamos fazer isso juntos agora? Então primeiro vamos escrever aqui a primeira derivada. dy, a derivada de y, em relação a x é igual a y sobre (3y² menos x). Se estamos nos preocupando com a segunda derivada, então a gente tem que calcular a derivada em ambos os lados disso aqui. Então vamos apenas fazer isso. Vamos colocar o operador da derivada em ambos os lados. Aqui no lado esquerdo é claro que vamos conseguir a segunda derivada de y em relação a x, mas o que temos aqui do lado direito? Existem várias formas de fazer isso, mas para algo assim a regra do quociente provavelmente é o melhor caminho para lidar com isso. Às vezes eu até falo aqui que a regra do quociente é apenas uma variação da regra do produto, o que de fato é, mas isso é bastante útil para isso que nós temos. A regra diz que isso aqui será igual a derivada do numerador em relação a x, então isso aqui vai ser derivada de y em relação a x, vezes o denominador, que nesse caso é 3y² menos x, menos o numerador, que é y, vezes a derivada do denominador em relação a x. Qual é a derivada desse denominador em relação a x? A derivada de 3y² em relação a x vai ser 6y. Eu apenas usei a regra da potência, mas a gente tem que multiplicar isso também com a derivada de y em relação a x, que nesse caso é a regra da cadeia. Tudo que eu fiz foi tirar a derivada disso em relação a x, que é a derivada disso aqui em relação a y vezes a derivada de y em relação a x. Tudo isso vem direto da regra da cadeia. Então a gente coloca aqui: menos a derivada disso em relação a x, que vai ser igual a 1. Acabou essa parte, mais lembre-se que estamos no meio da regra do quociente, bem aqui. Colocamos tudo isso aqui sobre o denominador elevado ao quadrado, ou seja, temos tudo isso sobre 3y² menos x e isso tudo elevado ao quadrado. Agora, para nossa sorte, o problema pediu para avaliar isso em um ponto, ao invés de ter que fazer um monte de simplificações algébricas. Então podemos fazer isso aqui. Sendo assim, quando x é igual a 1 negativo, y é igual a 1... Antes de fazer qualquer coisa, qual é o valor de (dy sobre dx)? Substituindo os valores que temos de x e y na expressão da derivada, temos que a derivada de y em relação a x vai ser igual a 1 sobre (3 vezes 1²), que é 3, menos -1, nesse caso a gente vai ter mais 1. Sendo assim, temos que (dy sobre dx) é igual a ¼ e toda essa expressão vai ficar assim. Eu posso escrever que a segunda derivada de y em relação a x é igual a ... Sabemos que isso aqui é igual a ¼, então temos ¼ vezes 3 vezes 1², que é apenas 3, menos -1, então nós temos aqui mais 1. Então a gente pode manter esse -1 fora do parênteses. Isso vezes 6 vezes 1 vezes ¼, e então -1, e tudo isso sobre… Vamos ver o que vai ser isso aqui. Temos 3 vezes y², e y é igual a 1. Então só será 3, 3 vezes -1. Assim a gente vai ter 3 mais 1 e tudo isso ao quadrado. E quanto que vai ser isso aqui? Simplificando, temos ¼ vezes 4, que será apenas 1. Vamos ver aqui: temos 1½ menos 1, então isso vai ser apenas ½. E vamos colocar tudo isso aqui sobre 16, já que a gente tem 4². Então isso vai ser igual a... Temos 1 menos ½, que é igual a ½ sobre 16, que é a mesma coisa que 1 sobre 2 vezes 16, que é 1 sobre 32. Pronto, meu amigo ou minha amiga. Terminamos! Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que conversamos aqui, e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!