Derivadas disfarçadas

RKA2G - Vamos ver se nós conseguimos encontrar o limite em que "h" se aproxima de zero de 5 log (2 + h) - 5 log (2), sobre "h". Eu sugiro que você pause este vídeo e tente resolver o exercício sozinho. Pense nas suas propriedades derivativas especialmente funções logarítmicas que, neste caso, possuem a base 10. Se alguém apenas escrever o logaritmo, sem a base, você pode assumir que esta base é 10. Então, pause este vídeo e veja se você é capaz de fazer isso. A chave para resolver este exercício é lembrar que, se eu tenho f(x), e eu quero encontrar f' de algum número, vamos dizer "a", f'(a) será igual ao limite de "h" se aproximando de zero f(a + h) - f(a), tudo isso sobre "h". Isso chega bem perto da definição de limite, exceto porque nós temos estes 5 aqui. Mas, para nossa sorte, nós podemos fatorar estes 5, colocando-os aqui na frente. Você sabe de onde vêm as propriedades dos nossos limites. Então, nós podemos pegá-las e resolver esses limites por nós mesmos. Vou fazer isso. Vou pegar os dois 5 e fatorá-los. Assim, essa coisa toda será simplificada para 5 vezes o limite quando "h" se aproxima de zero log (2 + h) - log (2), tudo isso sobre "h". Agora você pode reconhecer o que temos aqui em amarelo. Vamos pensar um pouco sobre isso. O que é isto? Se tivéssemos f(x) igual a log (x), e se nós quiséssemos saber qual é o f'(2), isso seria o mesmo que o limite de "h" se aproximando a zero do log (2 + h) - log (2), tudo isso sobre "h". Então, o que nós vemos aqui é a mesma coisa que f'(2). Se f(x) é o log (x) e f'(2) é igual a esta expressão, então, nós poderíamos descobrir isto? Se f(x) = log (x), qual seria f'(x)? Nós não precisaríamos usar a definição de limite. Na verdade, a definição de limite é bastante difícil de avaliar este limite. Mas nós sabemos como derivar as funções logarítmicas. Então, f'(x) será: 1 sobre o logaritmo natural da nossa base e a base aqui, como nós já conversamos, é 10. Então, 1 sobre o logaritmo natural de 10, vezes "x". Se isto era um logaritmo natural, isto seria 1 sobre o logaritmo natural de 10, vezes "x", de modo que, se você tiver qualquer outra base, o logaritmo natural dessa base seria o denominador aqui. Então, qual é f'(2)? f'(2) vai ser igual a: 1 sobre o logaritmo natural de 10, vezes 2. Toda esta coisa aqui foi simplificada. Toda esta coisa seria 5 vezes 1 sobre o logaritmo natural de 10, vezes 2. Mas eu poderia reescrever sendo 5 sobre o logaritmo natural de 10, vezes 2 Eu poderia, também, ter escrito isso como: 2 logaritmo natural de 10. A chave para esse tipo de exercício, você pode ser um pouco, deixe-me ver... Como eu posso avaliar esse limite? Isto parece muito com uma derivada de uma função logarítmica. Especialmente a derivada quando x = 2. Se pudéssemos fatorar estes 5 fora, e você pode dizer "olha, esta é derivada de log(x) quando x = 2". E por isso sabemos como dar a derivada do log(x). Se você não sabe, temos alguns vídeos que provam isso, onde você toma a derivada de logaritmos com outros tipos de bases. E você pode apenas usar isto para encontrar a derivada. Você pode avaliá-la em 2. E pronto, já está feito.