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Exemplo do teorema de Lagrange: polinômio

Transcrição de vídeo
Digamos que tenho uma função f de x que é definida como igual a x quadrado menos 6x mais 8 para todos os x. E o que eu quero fazer é mostrar, que para essa função definitivamente podemos achar um c num intervalo aonde a derivada no ponto c é igual a taxa média de variação sobre esse intervalo. Vamos definir um intervalo bem aqui Consideramos um intervalo entre 2 e 5. E essa função definitivamente continua além desse intervalo fechado e ela também é diferenciável. E ela tem que ser diferenciável sobre o intervalo aberto, mas ela é diferenciável realmente para todos os x. Vamos mostrar que podemos achar um c, que é dentro deste intervalo aberto, que é um membro deste intervalo aberto, que é no intervalo aberto assim que a derivada no ponto c é igual a taxa média de variação sobre esse intervalo. Ou que é igual a inclinação da secante entre os dois pontos finais do intervalo. Então é igual a f de 5 menos f de 2 sobre 5 menos 2. Quero encorajar você a pausar esse vídeo agora e tentar de achar um c aonde isso é verdadeiro. Bom, para fazer isso, vamos calcular o que tem que ser. Vamos pegar a derivativa e defini-los como iguais e deveríamos ter condições para resolver isso para o nosso c. Vamos ver o f de 5 menos f de 2, f de 5 é, vamos ver, f de 5 é igual a 25 menos 30 mais 8. Então é menos 5 mais 8 e isso é igual a 3. f de 2 é igual a 2 quadrado menos 12. Então é 4 menos 12 mais 8. Isso dá 0. Então é igual a 3/3, o que é igual a 1. A derivada da função f de c tem que ser igual a 1. Então, qual é a derivada disso? Vamos ver, a derivada da função f de x é igual a 2x menos 6. Temos que achar, que valor de x e especialmente tem que ser nesse intervalo aberto a que valor de x ele é igual a 1. Então tem que ser igual a 1. Vamos adicionar 6 nos dois lados. Temos 2x é igual a 7. x é igual a 7/2 o que é a mesma coisa como 3,5. Definitivamente se encontra esse valor nesse intervalo aqui. Então já descobrimos que o nosso c é igual a 7/2. Vamos criar um gráfico para verificar que isso faz sentido. Então isso aqui é o nosso eixo y, e depois isso aqui é o nosso eixo x, Parece que tudo vai acontecer no primeiro e no quarto quadrante. Então esse é o nosso eixo x. E vamos dizer, isso é 1, 2, 3, 4 e 5. Já sabemos que o 2 é um dos dois zeros aqui. Sabemos então que a nossa função, querendo desenha-la, cruza o eixo x bem aqui. E pode calcular isso, x menos 2 vezes x menos 4. Então a outra posição aonde a nossa função fica em 0 é quando x é igual a 4 bem aqui. A nossa vértice será aqui aonde x é igual a 3. Quando x é igual a 3, vamos ver, 9 menos 18 é menos 9 mais 8, dá menos 1. No ponto 3 portanto temos menos 1. Isso é suficiente para nós para desenhar. E sabemos também que no 5 é 3. Então 1, 2, 3. No 5 estamos bem aqui. Portanto no intervalo que nós interessa o nosso gráfico fica assim. Esse então é o intervalo que nós interessa. E estamos procurando um c, cuja inclinação é igual a inclinação da secante igual a inclinação da linha entre esses dois pontos. E se nós fossemos apenas visual, olhando para ela, eu diria mais ou menos aqui, baseado no meu desenho a inclinação da tangente parece ser paralela. Parece que tem a mesma inclinação parece que a tangente é paralela a secante. E parece que é exatamente no 3,5 ou 7/2. Faz sentido. Então isso bem aqui é o nosso c. c é igual a 7/2. Legendado por [Giulia Baretta] Revisado por [Soraia Novaes]