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Veremos se podemos entender intuitivamente o teorema do valor médio. E,como veremos, uma vez que você processar parte dos termos matemáticos e da notação, verá que é um teorema bastante intuitivo. Vamos pensar sobre uma função f. Digamos que tenho uma função f e sabemos algumas coisas sobre esta função. Sabemos que é contínua sobre o intervalo fechado entre x igual a a e x igual a b. Quando colocamos estes colchetes quer dizer que o intervalo é fechado. Quando coloco um colchete aqui, significa que estou incluindo o ponto a. E se coloco o colchete à direita, em vez de parênteses, significa que estamos incluindo o ponto b. Continuidade significa que não temos nenhuma descontinuidade ou saltos neste intervalo fechado. Também vamos assumir que a função é diferenciável no intervalo aberto entre a e b. Estamos dizendo que não há problema se a função não é diferenciável em a ou em b. E diferenciável significa que há uma derivada definida; que você pode calcular a derivada nesses pontos. Então, a função é diferenciável no intervalo aberto entre a e b. Essas são as condições que vamos impor para o teorema do valor médio. Vamos tentar visualizar isto. Esta é minha função, este é o eixo y e este é o eixo x. Deixe-me desenhar meu intervalo. Isso é a e isto aqui é o b. Digamos que minha função parece algo assim. Neste ponto aqui, o valor de x é a e o valor de y é f de a. Neste ponto, o valor de x é b e o valor de y é, obviamente, f de b. Tudo que o teorema do valor médio diz é que se calcularmos a taxa de variação média do intervalo, em algum ponto a taxa de variação instantânea será igual a taxa de variação média. O que isso significa visualmente? Vamos calcular a taxa de variação média. A variação média entre o ponto a e o ponto b será o coeficiente angular da reta secante. Esta é a reta secante. Pense sobre o coeficiente angular. O que o teorema do valor médio nos diz é que em algum ponto deste intervalo o coeficiente angular instantâneo da reta tangente será igual ao coeficiente angular da reta secante. Podemos observar que aqui parece que o coeficiente angular da reta tangente é igual ao coeficiente angular da reta secante. E parece que aqui também o coeficiente angular da reta tangente é igual ao coeficiente angular da reta secante. Isso faz sentido intuitivamente. Em algum ponto, o seu coeficiente angular instantâneo será igual ao seu coeficiente angular médio. Como escreveríamos isso matematicamente? Vamos calcular o coeficiente angular médio deste intervalo. O coeficiente angular médio deste intervalo, ou a taxa de variação média - o coeficiente angular da reta secante - será nossa diferença em y sobre nossa diferença em x. Qual é nossa diferença em y? A nossa diferença em y é f de b menos f de a - sobre nossa diferença em x- sobre b menos a. Farei isso em vermelho. Vamos recordar o que está acontecendo. Isto aqui é o gráfico de y, que é igual a f de x. Estamos dizendo que o coeficiente angular da reta secante, ou nossa taxa de variação média do intervalo entre a e b, é nossa variação em y --a letra grega delta significa variação-- sobre nossa variação em x. Que, obviamente, é igual a isso daqui. O teorema do valor médio nos diz que existe -- então se sabemos essas duas coisas sobre a função-- um valor de x entre a e b. Então, no intervalo aberto entre a e b existe um valor c. E podemos dizer que pertence ao intervalo aberto entre a e b. Ou podemos dizer que algum valor c tal que a é menor que c e c é menor que b. Algum valor c onde a taxa de variação instantânea nesse valor x é igual a taxa de variação média. Então existe um c neste intervalo aberto no qual a taxa de variação média é igual a taxa de variação instantânea nesse ponto. É tudo o que está dizendo. Assim como vimos neste diagrama, este poderia ser o nosso c. Ou este. Você diria que f é continua em a e b, no intervalo fechado, e diferenciável no intervalo aberto. e você vê toda esta notação. O que isso nos diz? Diz que em algum ponto no intervalo, a taxa de variação instantânea será igual a taxa de variação média sobre todo o intervalo No próximo vídeo, tentaremos dar um exemplo da vida real sobre quando isso faz sentido. [legendado por: Pilar]