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Transcrição de vídeo

Oi e aí pessoal tudo bem nessa aula nós vamos fazer uma integração usando o método de completar quadrados e vamos descobrir a derivada de arte tangente e vamos relembrar a derivada de arctangent de x e para isso nós vamos resolver a integral de 1 sobre 5 x ao quadrado menos 30 x mais 65 deixes e eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver sozinho vamos lá essa é uma integral que ela é bastante confusa e que nós precisamos prestar atenção em cada detalhe você pode tentar vários métodos de integração e em muitos você não vai conseguir resolver o que eu vou fazer aqui é utilizar o método de completar quadrados para faturar esse denominador e quando eu resolver isso você vai ver que o resultado é igual a arctangent é só Relembrando se eu quiser calcular a derivada de arctangent Deo Isso vai ser igual a derivada de um / 1 + 1 ao quadrado E para completar esse quadrado Note que todos os termos desse denominador estão sendo multiplicadas por um fator 5 então eu posso colocar aqui um quinto em evidência que multiplica a integral de 1 sobre x ao quadrado menos 6x mais 13 de X isso porque se eu multiplicar cinco por essa expressão nós vamos ter isso aqui e agora sim nós podemos completar o quadrado deixa eu escrever aqui um quinto que multiplica a integral de 1 sobre x ao quadrado - 6x e eu vou colocar um mais 13 isolado aqui e observe e isso aqui não é o meu quadrado perfeito está faltando algo e para resolver isso eu posso somar e subtrair algo aqui a fim de completar esse quadrado ou seja eu quero transformar essa parte aqui em um trinômio quadrado perfeito e nós já falamos de completar quadrado em outras aulas nós pegamos essa parte e nesse caso já menos três e e levamos ao quadrado Então você tem mais nove aqui mas eu não posso simplesmente adicionar algum uma expressão para resolver isso eu tenho que subtrair 9 e com isso x ao quadrado menos 6x mais nove é a mesma coisa e x menos 3 ao quadrado e menos nove mais 13 = 4 E aí vamos ficar com um quinto e multiplica a integral de 1 sobre x menos 3 ao quadrado mais que é o que eu posso escrever como 2 ao quadrado de x e claro eu reescrevi dessa forma porque já está começando aparecer com arco inteligente mas eu vou simplificar ainda mais o que eu posso fazer aqui é dividir todo mundo por quatro que é a mesma coisa que multiplicar por um quarto e aí vamos ficar com um quinto x14 que vai dar um vinte avos que multiplica a integral de 1 sobre x menos 3 ao quadrado sobre quatro que eu posso escrever como 2 ao quadrado mais um e eu ainda posso simplificar mais eu posso escrever um vinte avos vezes a integral de 1 sobre x menos 3 ao quadrado sobre 2 ao quadrado que eu posso reescrever como x menos 3 sobre 2 ao quadrado mais um deixes Agora sim Ah tá parecido com isso e agora eu posso fazer a substituição o eu posso chamar isso aqui de uh eu já posso colocar separado escrevendo um meio de x menos 3 meios Ou seja eu só escrevi x sobre 2 menos 3 sobre 2 e a derivada de uva e ser igual a um meio deixe e olhando para nossa integral eu preciso que no numerador apareça meio então eu posso transformar isso aqui em meio mas para fazer isso eu tenho que multiplicar e só que por 2 em 2 vezes um vinte avos é a mesma coisa que um décimo E aí vamos ficar com um décimo que multiplica a integral Observe que nessa parte eu tenho meio deixe que a mesma coisa que deu e com esse eu posso colocar deu no numerador ou colocar aqui ao lado e aí eu vou é um sobre isso aqui mais um e x menos 3 sobre 2 é o Então vamos ficar com o ao quadrado mais um e se você perceber isso aqui é a derivada de ar que tem gente então eu posso dizer que isso é igual a um décimo que multiplica arctangent de um e como nós temos uma integral indefinida nós devemos somar com uma constante c e agora devemos voltar para nossa variável original já que fizemos uma substituição aqui então vamos ter um décimo de arctangent Deo e nesse caso é x menos 3 sobre 2 mais cedo claro que aqui eu poderia reescrever assim também tá Eu só coloquei desse jeito para ficar mais fácil né Então essa aqui é a integral dia só que eu espero que essa aula tenha te ajudado e até a próxima pessoal
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