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Somas de Riemann à esquerda e à direita

Áres sob curvas podem ser estimadas com retângulos. Tais estimativas são chamadas de somas de Riemann.

Suponha que nós queremos calcular a área sob essa curva:

Podemos ter dificuldades para calcular a área exata, mas podemos fazer uma aproximação usando retângulos:

E nossa aproximação fica melhor se usamos mais retângulos:

Esses tipos de aproximações são chamados de somas de Riemann e são uma ferramenta fundamental para o cálculo integral. Nosso objetivo, por hora, é nos concentrar em compreender dois tipos de somas de Riemann: somas de Riemann à esquerda e somas de Riemann à direita.

Somas de Riemann à esquerda e à direita

Para fazer uma soma de Riemann, devemos escolher como vamos fazer nossos retângulos. Uma opção possível é fazê-los tocar a curva com os cantos superiores esquerdos. Isto é chamado de soma de Riemann à esquerda.

Outra opção é fazer com que nossos retângulos toquem a curva com seus cantos superiores direitos. Esta é uma soma de Riemann à direita.

Nenhuma opção é estritamente melhor que a outra.

Problema 1

Que tipo de soma de Riemann é descrita pelo diagrama?

Subdivisões/partições da soma de Riemann

Termos comumente mencionados quando trabalhamos com somas de Riemann são "subdivisões" ou "partições". Estes se referem ao número de partes em que dividimos o intervalo de

x

, para obter os retângulos. Simplificando, o número de subdivisões (ou partições) é o número de retângulos que usamos.

Subdivisões podem ser uniformes, o que significa que elas têm a mesma largura, ou não uniformes.

Subdivisões uniformes	Subdivisões não uniformes
A área sombreada abaixo da curva é dividida em 3 retângulos de largura igual. Cada retângulo se ergue acima do eixo x e toca a curva no canto superior esquerdo.	A área sombreada abaixo da curva é dividida em 3 retângulos de larguras diferentes. Cada retângulo se ergue acima do eixo x e toca a curva no canto superior esquerdo.

Problema 2

Qual é a descrição correta das subdivisões nessa soma de Riemann?

Problemas de soma de Riemann com gráficos

Imagine que tenhamos que aproximar a área entre

y = g (x)

e o eixo

x

x = 2

x = 6

Digamos que decidimos usar uma soma de Riemann à esquerda com quatro subdivisões uniformes.

Aviso: cada retângulo toca a curva no seu canto superior esquerdo, porque estamos usando uma soma de Riemann à esquerda.

Somando as áreas dos retângulos, temos

20

unidades

^{2}

, que é uma aproximação para a área sob a curva.

Para este problema, podemos simplesmente contar as unidades quadradas de cada retângulo, mas em geral nós teremos que multiplicar alturas e larguras para obter a área.

	Primeiro retângulo	Segundo retângulo	Terceiro retângulo	Quarto retângulo
Largura	$1$ ‍	$1$ ‍	$1$ ‍	$1$ ‍
Altura	$3$ ‍	$7$ ‍	$6$ ‍	$4$ ‍
Área	$1 \cdot 3 = 3$ ‍	$1 \cdot 7 = 7$ ‍	$1 \cdot 6 = 6$ ‍	$1 \cdot 4 = 4$ ‍

Então, depois de calcular as áreas individuais, nós as somamos para obter

20

unidades

^{2}

Problema 3

Aproxime área entre $y = h (x)$ ‍ e o eixo $x$ ‍ de $x = - 2$ ‍ a $x = 4$ ‍ usando uma soma de Riemann à direita com três subdivisões iguais.

Agora vamos fazer algumas aproximações sem a ajuda de gráficos.

Imagine que temos que aproximar a área entre o eixo

x

e o gráfico de

f

x = 1

x = 10

usando uma soma de Riemann à direita com três subdivisões iguais. Para isso, temos uma tabela de valores para

f


$x$ ‍	$1$ ‍	$4$ ‍	$7$ ‍	$10$ ‍
$f (x)$ ‍	$6$ ‍	$8$ ‍	$3$ ‍	$5$ ‍

Um bom primeiro passo é descobrir a largura de cada subdivisão. A largura de toda a área que estamos aproximando é de

10 - 1 = 9

unidades. Se estamos usando três subdivisões iguais, então a largura de cada retângulo é

9 \div 3 = 3

A partir daí, precisamos descobrir a altura de cada retângulo. Nosso primeiro retângulo está no intervalo

[1, 4]

. Como estamos usando uma soma de Riemann à direita, seu vértice superior direito deve estar sobre a curva onde

x = 4

, então o valor de

y

f (4) = 8

De forma similar, podemos descobrir que o segundo retângulo, que fica no intervalo

[4, 7]

, tem seu vértice superior direito em

f (7) = 3

Nosso terceiro (e último) retângulo tem seu vértice superior direito em

f (10) = 5

Agora só resta fazer as contas.

	Primeiro retângulo	Segundo retângulo	Terceiro retângulo
Largura	$3$ ‍	$3$ ‍	$3$ ‍
Altura	$8$ ‍	$3$ ‍	$5$ ‍
Área	$3 \cdot 8 = 24$ ‍	$3 \cdot 3 = 9$ ‍	$3 \cdot 5 = 15$ ‍

Então, depois de calcular as áreas individuais, nós as somamos para obter nossa aproximação:

48

unidades

^{2}

Problema 4

Aproxime a área entre o eixo $x$ ‍ e $y = g (x)$ ‍ de $x = 10$ ‍ até $x = 16$ ‍ usando uma soma de Riemann à esquerda com três subdivisões iguais.


$x$ ‍	$10$ ‍	$12$ ‍	$14$ ‍	$16$ ‍
$g (x)$ ‍	$5$ ‍	$1$ ‍	$7$ ‍	$7$ ‍

A área aproximada é de

unidades

^{2}

Agora imagine que temos que aproximar a área entre o eixo

x

e o gráfico de

f (x) = 2^{x}

x = - 3

até

x = 3

usando uma soma de Riemann à direita com três subdivisões iguais.

O intervalo total

[- 3, 3]

tem

6

unidades de largura, então cada um dos três retângulos deve ter

6 \div 3 = 2

unidades de largura.

O primeiro retângulo está em

[- 3, - 1]

, então sua altura é

f (- 1) = 2^{- 1} = 0, 5

. Da mesma maneira, a altura do segundo retângulo é

f (1) = 2^{1} = 2

e a altura do terceiro retângulo é

f (3) = 2^{3} = 8

	Primeiro retângulo	Segundo retângulo	Terceiro retângulo
Largura	$2$ ‍	$2$ ‍	$2$ ‍
Altura	$0, 5$ ‍	$2$ ‍	$8$ ‍
Área	$2 \cdot 0, 5 = 1$ ‍	$2 \cdot 2 = 4$ ‍	$2 \cdot 8 = 16$ ‍

Então, nossa aproximação é de

21

unidades

^{2}

Problema 5

Aproxime a área entre o eixo $x$ ‍ e $h (x) = \frac{3}{x}$ ‍ de $x = 0$ ‍ até $x = 1, 5$ ‍ usando uma soma de Riemann à direita com $3$ ‍ subdivisões iguais.

A área aproximada é de

unidades

^{2}

Quer praticar mais? Tente este exercício.

Somas de Riemann algumas vezes superestimam e em outras vezes subestimam

Somas de Riemann são aproximações da área sob uma curva, então serão sempre ligeiramente maiores do que a área real (uma superestimação), ou ligeiramente menores do que a área real (uma subestimação).

Problema 6

Esta soma de Riemann é uma superestimação ou uma subestimação da área real?

Problema 7

Considere as somas de Riemann à esquerda e à direita que poderiam aproximar a área sob

y = g (x)

entre

x = 2

x = 8

Estas aproximações são superestimações ou subestimações? Preencha as lacunas.

A soma de Riemann à esquerda estaria totalmente

da curva, então isso é uma

A soma de Riemann à direita estaria inteiramente

da curva, então isso é uma

Problema 8

A função contínua

g

é mostrada no gráfico.

Nós estamos interessados na área sob a curva entre

x = - 7

x = 7

e estamos considerando usar somas de Riemann para aproximá-la.

Ordene as áreas da menor (em cima) até a maior (em baixo).

Problema 9

A tabela nos dá valores selecionados da função contínua e crescente

g

$x$ ‍	$- 2$ ‍	$3$ ‍	$8$ ‍	$13$ ‍	$18$ ‍
$g (x)$ ‍	$13$ ‍	$19$ ‍	$28$ ‍	$31$ ‍	$41$ ‍

Nós estamos interessados na área sob a curva entre

x = - 2

x = 18

e estamos considerando usar somas de Riemann à esquerda e à direita, cada uma com quatro subdivisões iguais para aproximá-la.

Ordene as áreas da menor (em cima) até a maior (em baixo).

Quer praticar mais? Tente este exercício.

Aviso: se a soma de Riemann é uma superestimação ou uma subestimação depende de se a função for crescente ou decrescente no intervalo e se a soma de Riemann é à direita ou à esquerda.

Pontos principais que devem ser lembrados

Como aproximar a área sob uma curva com retângulos

A primeira coisa que você deve ter em mente quando ouvir as palavras "soma de Riemann" é que nós estamos usando retângulos para estimar a área sob a curva. Devemos visualizar uma situação como esta:

Quanto mais subdivisões, melhor a aproximação

Em geral, quanto mais subdivisões (ou seja, retângulos) usarmos para aproximar uma área, melhor será a aproximação.

Somas de Riemann à esquerda x à direita

Tente não confundi-las. Uma soma de Riemann à esquerda usa retângulos cujos vértices superiores esquerdos se situam na curva. Uma soma de Riemann à direita usa retângulos cujos vértices superiores direitos se situam na curva.

Soma de Riemann à esquerda	Soma de Riemann à direita
O gráfico da função tem a região sob a curva dividida em 4 retângulos com larguras iguais que tocam a curva nos cantos superiores esquerdos.	O gráfico da função tem a região sob a curva dividida em 4 retângulos com larguras iguais que tocam a curva nos cantos superiores direitos.

Superestimação e subestimação

Quando usamos somas de Riemann, algumas vezes obtemos uma superestimação e outras vezes uma subestimação. É importante ser capaz de discernir quando uma determinada soma de Riemann é uma superestimação e quando ela é uma subestimação.

Em geral, se uma função for sempre crescente ou sempre decrescente em um intervalo, nós podemos dizer se a aproximação da soma de Riemann será uma superestimação ou uma subestimação com base em se ela é uma soma de Riemann à esquerda ou à direita.

Direção	Soma de Riemann à esquerda	Soma de Riemann à direita
Crescente	Subestimação	Superestimação
Decrescente	Superestimação	Subestimação

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Cálculo Avançado AB

Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 6

Somas de Riemann à esquerda e à direita

Subdivisões/partições da soma de Riemann

Problemas de soma de Riemann com gráficos

Agora vamos fazer algumas aproximações sem a ajuda de gráficos.

Somas de Riemann algumas vezes superestimam e em outras vezes subestimam

Pontos principais que devem ser lembrados

Como aproximar a área sob uma curva com retângulos

Quanto mais subdivisões, melhor a aproximação

Somas de Riemann à esquerda x à direita

Superestimação e subestimação

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