Conteúdo principal
Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 6
Lição 2: Aproximação de áreas com somas de Riemann- Introdução à aproximação de Riemann
- Super e subestimação das somas de Riemann
- Somas de Riemann à esquerda e à direita
- Exemplo resolvido: cálculo de uma soma de Riemann usando uma tabela
- Somas de Riemann à esquerda e à direita
- Exemplo prático: sobre e subestimação de somas de Riemann
- Super e subestimação das somas de Riemann
- Somas de ponto médio
- Somas trapezoidais
- Entendendo a regra do trapézio
- Somas de ponto médio e trapezoidais
- Revisão sobre as somas de Riemann
© 2023 Khan AcademyTermos de usoPolítica de privacidadeAviso de cookies
Entendendo a regra do trapézio
Confira um exemplo em que se usa a regra do trapézio e, em seguida, resolva sozinho alguns problemas.
Agora você sabe que podemos usar somas de Riemann para aproximar a área debaixo de uma função. Somas de Riemann usam retângulos, o que nos leva a algumas aproximações bem forçadas. Mas e se usarmos trapézios para aproximar a área debaixo de uma função em vez de retângulos?
Ideia-chave: usando trapézios (também conhecido como a "regra do trapézio") temos aproximações mais precisas do que usando retângulos (também conhecido como "soma de Riemann").
Um exemplo da regra do trapézio
Vamos dar uma olhada na regra usando três trapézios para aproximar a área sob a função f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis no intervalo open bracket, 2, comma, 8, close bracket.
Isso é o que um diagrama mostra quando chamamos o primeiro trapézio T, start subscript, 1, end subscript, o segundo trapézio T, start subscript, 2, end subscript e o terceiro trapézio T, start subscript, 3, end subscript:
Lembre-se de que a área de um trapézio é h, left parenthesis, start fraction, b, start subscript, 1, end subscript, plus, b, start subscript, 2, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis em que h é a altura e b, start subscript, 1, end subscript e b, start subscript, 2, end subscript são as bases.
Cálculo da área de T, start subscript, 1, end subscript
Precisamos pensar no trapézio como se ele estivesse deitando de lado.
A altura h é o 2 na parte inferior de T, start subscript, 1, end subscript que se estende de x, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54 para x, equals, start color #ca337c, 4, end color #ca337c.
A primeira base b, start subscript, 1, end subscript é o valor de 3, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis em x, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, o qual é 3, natural log, left parenthesis, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, right parenthesis.
A segunda base b, start subscript, 2, end subscript é o valor de 3, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis em x, equals, start color #ca337c, 4, end color #ca337c, o qual é 3, natural log, left parenthesis, start color #ca337c, 4, end color #ca337c, right parenthesis.
É assim que tudo isso fica visualmente:
Vamos agora agrupar todos esses conceitos para calcular a área de T, start subscript, 1, end subscript:
Simplifique:
Cálculo da área de T, start subscript, 2, end subscript
Vamos encontrar a altura e ambas as bases:
Substituindo e simplificando:
Cálculo da área de T, start subscript, 3, end subscript
Cálculo da aproximação da área total
Calculamos a área total somando as áreas de cada um dos três trapézios:
Aqui está a resposta final simplificada:
Você deveria fazer uma pausa aqui e revisar a álgebra para ter certeza de que entendeu como chegamos a esse resultado!
Problema prático
Desafio
Quer participar da conversa?
- Caros srs gostaria de tirar uma dúvida na resposta considerada correta no "Problema prático" onde a função f(x)=2ln(x), no intervalo [2, 8]. A resposta correta não seria"Área total= 3(ln2+2ln4+2ln6+ln8)?
A correção está apontando como correta 3/2(ln2...) Grato e desculpem minha dúvida. Abs(5 votos)- T= h((B+b)/2)
h=1,5 ou 3/2 para todos
T1=> B=2 e b=3,5
T2=> B=3,5 e b=5
T3=> B=5 e b=6,5
T4=> B=6,5 e b=8
T1=1,5*((2ln(2)+2ln(3,5)/2) => T1=1,5*((2*(ln(2)+2n(3,5)/2) =>
T1=(1,5)*((ln(2) + ln(3,5)) => mesmo raciocínio:
T2=(1,5)*(ln(3,5) + ln(5))
T3=(1,5)*((ln(5) + ln(6,5))
T4=(1,5)*((ln(6,5)+ ln(8))
somando teriamos: (3/2)*(ln2 + 2ln3,5 + 2ln5 + 2ln6,5 + ln8))
talvez o seu erro tenha sido considerar altura como valor 2, igual exercício anterior, não um 1,5 como neste.
Espero tê-lo ajudado.(8 votos)