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Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 6

Lição 2: Aproximação de áreas com somas de Riemann
Matemática
Cálculo Avançado AB
Integração e acumulação de variação
Aproximação de áreas com somas de Riemann
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Entendendo a regra do trapézio

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Confira um exemplo em que se usa a regra do trapézio e, em seguida, resolva sozinho alguns problemas.
Agora você sabe que podemos usar somas de Riemann para aproximar a área debaixo de uma função. Somas de Riemann usam retângulos, o que nos leva a algumas aproximações bem forçadas. Mas e se usarmos trapézios para aproximar a área debaixo de uma função em vez de retângulos?
Ideia-chave: usando trapézios (também conhecido como a "regra do trapézio") temos aproximações mais precisas do que usando retângulos (também conhecido como "soma de Riemann").

Um exemplo da regra do trapézio

Vamos dar uma olhada na regra usando três trapézios para aproximar a área sob a função f(x)=3ln⁡(x) no intervalo [2,8].
Isso é o que um diagrama mostra quando chamamos o primeiro trapézio T1, o segundo trapézio T2 e o terceiro trapézio T3:
Lembre-se de que a área de um trapézio é h(b1+b22) em que h é a altura e b1 e b2 são as bases.

Cálculo da área de T1

Precisamos pensar no trapézio como se ele estivesse deitando de lado.
A altura h é o 2 na parte inferior de T1 que se estende de x=2 para x=4.
A primeira base b1 é o valor de 3ln⁡(x) em x=2, o qual é 3ln⁡(2).
A segunda base b2 é o valor de 3ln⁡(x) em x=4, o qual é 3ln⁡(4).
É assim que tudo isso fica visualmente:
Vamos agora agrupar todos esses conceitos para calcular a área de T1:
T1=h(b1+b22)
T1=2(3ln⁡(2)+3ln⁡(4)2)
Simplifique:
T1=3(ln⁡(2)+ln⁡(4))

Cálculo da área de T2

Vamos encontrar a altura e ambas as bases:
h=2
b1=3ln⁡(4)
b2=3ln⁡(6)
Substituindo e simplificando:
T2=3(ln⁡(4)+ln⁡(6))

Cálculo da área de T3

T3=
Escolha 1 resposta:

Cálculo da aproximação da área total

Calculamos a área total somando as áreas de cada um dos três trapézios:
Área total=T1+T2+T3
Aqui está a resposta final simplificada:
Área total=3(ln⁡2+2ln⁡4+2ln⁡6+ln⁡8)
Você deveria fazer uma pausa aqui e revisar a álgebra para ter certeza de que entendeu como chegamos a esse resultado!

Problema prático

Escolha a expressão que usa quatro trapézios para aproximar a área sob a função f(x)=2ln⁡(x) no intervalo [2,8].
Escolha 1 resposta:

Desafio

Escolha a expressão que usa três trapézios para aproximar a área sob a função f no intervalo [−1,5].
Escolha 1 resposta:

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  • Avatar blobby green style do usuário Marc Med
    Publicado há há 4 anos. Link direto para a postagem “Caros srs gostaria de tir...” de Marc Med
    Caros srs gostaria de tirar uma dúvida na resposta considerada correta no "Problema prático" onde a função f(x)=2ln(x), no intervalo [2, 8]. A resposta correta não seria"Área total= 3(ln2+2ln4+2ln6+ln8)?
    A correção está apontando como correta 3/2(ln2...) Grato e desculpem minha dúvida. Abs
    (6 votos)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
    • Avatar winston baby style do usuário Paulo Cesar Alcoragi
      Publicado há há 4 anos. Link direto para a postagem “T= h((B+b)/2) h=1,5 ou 3/...” de Paulo Cesar Alcoragi
      T= h((B+b)/2)
      h=1,5 ou 3/2 para todos
      T1=> B=2 e b=3,5
      T2=> B=3,5 e b=5
      T3=> B=5 e b=6,5
      T4=> B=6,5 e b=8

      T1=1,5*((2ln(2)+2ln(3,5)/2) => T1=1,5*((2*(ln(2)+2n(3,5)/2) =>

      T1=(1,5)*((ln(2) + ln(3,5)) => mesmo raciocínio:
      T2=(1,5)*(ln(3,5) + ln(5))
      T3=(1,5)*((ln(5) + ln(6,5))
      T4=(1,5)*((ln(6,5)+ ln(8))

      somando teriamos: (3/2)*(ln2 + 2ln3,5 + 2ln5 + 2ln6,5 + ln8))

      talvez o seu erro tenha sido considerar altura como valor 2, igual exercício anterior, não um 1,5 como neste.

      Espero tê-lo ajudado.
      (9 votos)
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