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Cálculo Avançado AB

Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 6

Lição 2: Aproximação de áreas com somas de Riemann
Matemática
Cálculo Avançado AB
Integração e acumulação de variação
Aproximação de áreas com somas de Riemann
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Entendendo a regra do trapézio

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Confira um exemplo em que se usa a regra do trapézio e, em seguida, resolva sozinho alguns problemas.
Agora você sabe que podemos usar somas de Riemann para aproximar a área debaixo de uma função. Somas de Riemann usam retângulos, o que nos leva a algumas aproximações bem forçadas. Mas e se usarmos trapézios para aproximar a área debaixo de uma função em vez de retângulos?
Ideia-chave: usando trapézios (também conhecido como a "regra do trapézio") temos aproximações mais precisas do que usando retângulos (também conhecido como "soma de Riemann").

Um exemplo da regra do trapézio

Vamos dar uma olhada na regra usando três trapézios para aproximar a área sob a função f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis no intervalo open bracket, 2, comma, 8, close bracket.
Isso é o que um diagrama mostra quando chamamos o primeiro trapézio T, start subscript, 1, end subscript, o segundo trapézio T, start subscript, 2, end subscript e o terceiro trapézio T, start subscript, 3, end subscript:
Lembre-se de que a área de um trapézio é h, left parenthesis, start fraction, b, start subscript, 1, end subscript, plus, b, start subscript, 2, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis em que h é a altura e b, start subscript, 1, end subscript e b, start subscript, 2, end subscript são as bases.

Cálculo da área de T, start subscript, 1, end subscript

Precisamos pensar no trapézio como se ele estivesse deitando de lado.
A altura h é o 2 na parte inferior de T, start subscript, 1, end subscript que se estende de x, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54 para x, equals, start color #ca337c, 4, end color #ca337c.
A primeira base b, start subscript, 1, end subscript é o valor de 3, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis em x, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, o qual é 3, natural log, left parenthesis, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, right parenthesis.
A segunda base b, start subscript, 2, end subscript é o valor de 3, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis em x, equals, start color #ca337c, 4, end color #ca337c, o qual é 3, natural log, left parenthesis, start color #ca337c, 4, end color #ca337c, right parenthesis.
É assim que tudo isso fica visualmente:
Vamos agora agrupar todos esses conceitos para calcular a área de T, start subscript, 1, end subscript:
T, start subscript, 1, end subscript, equals, h, left parenthesis, start fraction, b, start subscript, 1, end subscript, plus, b, start subscript, 2, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis
T, start subscript, 1, end subscript, equals, 2, left parenthesis, start fraction, 3, natural log, left parenthesis, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, right parenthesis, plus, 3, natural log, left parenthesis, start color #ca337c, 4, end color #ca337c, right parenthesis, divided by, 2, end fraction, right parenthesis
Simplifique:
T, start subscript, 1, end subscript, equals, 3, left parenthesis, natural log, left parenthesis, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, right parenthesis, plus, natural log, left parenthesis, start color #ca337c, 4, end color #ca337c, right parenthesis, right parenthesis

Cálculo da área de T, start subscript, 2, end subscript

Vamos encontrar a altura e ambas as bases:
h, equals, 2
b, start subscript, 1, end subscript, equals, 3, natural log, left parenthesis, 4, right parenthesis
b, start subscript, 2, end subscript, equals, 3, natural log, left parenthesis, 6, right parenthesis
Substituindo e simplificando:
T, start subscript, 2, end subscript, equals, 3, left parenthesis, natural log, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, natural log, left parenthesis, 6, right parenthesis, right parenthesis

Cálculo da área de T, start subscript, 3, end subscript

T, start subscript, 3, end subscript, equals
Escolha 1 resposta:

Cálculo da aproximação da área total

Calculamos a área total somando as áreas de cada um dos três trapézios:
start text, A, with, \', on top, r, e, a, space, t, o, t, a, l, end text, equals, T, start subscript, 1, end subscript, plus, T, start subscript, 2, end subscript, plus, T, start subscript, 3, end subscript
Aqui está a resposta final simplificada:
start text, A, with, \', on top, r, e, a, space, t, o, t, a, l, end text, equals, 3, left parenthesis, natural log, 2, plus, 2, natural log, 4, plus, 2, natural log, 6, plus, natural log, 8, right parenthesis
Você deveria fazer uma pausa aqui e revisar a álgebra para ter certeza de que entendeu como chegamos a esse resultado!

Problema prático

Escolha a expressão que usa quatro trapézios para aproximar a área sob a função f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis no intervalo open bracket, 2, comma, 8, close bracket.
Escolha 1 resposta:

Desafio

Escolha a expressão que usa três trapézios para aproximar a área sob a função f no intervalo open bracket, minus, 1, comma, 5, close bracket.
Escolha 1 resposta:

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  • Avatar blobby green style do usuário Marc Med
    Publicado há há 3 anos. Link direto para a postagem “Caros srs gostaria de tir...” de Marc Med
    Caros srs gostaria de tirar uma dúvida na resposta considerada correta no "Problema prático" onde a função f(x)=2ln(x), no intervalo [2, 8]. A resposta correta não seria"Área total= 3(ln2+2ln4+2ln6+ln8)?
    A correção está apontando como correta 3/2(ln2...) Grato e desculpem minha dúvida. Abs
    (5 votos)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
    • Avatar winston baby style do usuário Paulo Cesar Alcoragi
      Publicado há há 3 anos. Link direto para a postagem “T= h((B+b)/2) h=1,5 ou 3/...” de Paulo Cesar Alcoragi
      T= h((B+b)/2)
      h=1,5 ou 3/2 para todos
      T1=> B=2 e b=3,5
      T2=> B=3,5 e b=5
      T3=> B=5 e b=6,5
      T4=> B=6,5 e b=8

      T1=1,5*((2ln(2)+2ln(3,5)/2) => T1=1,5*((2*(ln(2)+2n(3,5)/2) =>

      T1=(1,5)*((ln(2) + ln(3,5)) => mesmo raciocínio:
      T2=(1,5)*(ln(3,5) + ln(5))
      T3=(1,5)*((ln(5) + ln(6,5))
      T4=(1,5)*((ln(6,5)+ ln(8))

      somando teriamos: (3/2)*(ln2 + 2ln3,5 + 2ln5 + 2ln6,5 + ln8))

      talvez o seu erro tenha sido considerar altura como valor 2, igual exercício anterior, não um 1,5 como neste.

      Espero tê-lo ajudado.
      (8 votos)
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