Super e subestimação das somas de Riemann

RKA8JV - Olá, meu amigo ou minha amiga. Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos resolver um exemplo sobre as somas de Riemann. Este exemplo diz o seguinte: Considere as somas de Riemann à esquerda e à direita que poderiam aproximar a área sob "y = g(x)" entre "x = 2" e "x = 8". Queremos aproximar esta área azul claro aqui. Essas aproximações são superestimações ou subestimações? Bem, vamos pensar aqui sobre cada uma delas. Primeiro, vamos considerar aqui à esquerda. Eu só vou escrever esquerda para economizar espaço aqui, ok? Mas eu estou falando sobre a soma de Riemann à esquerda. O problema não disse quantas subdivisões nossa aproximação precisa ter, então, cabe a nós decidirmos isso. Vamos dizer que optamos em fazer 3 subdivisões, e que sejam subdivisões iguais. Não precisa ser assim, mas vamos dizer que decidimos por isso. A primeira vai de 2 até 4, a próxima vai de 4 até 6, e a terceira vai de 6 até 8. Se a gente fizer uma soma de Riemann à esquerda, usamos o lado esquerdo de cada uma dessas subdivisões para encontrar a altura. Você avalia a função na extremidade esquerda de cada uma dessas subdivisões para encontrar a altura aproximada de nossos retângulos. Usamos aqui g(2) para definir a altura do nosso primeiro retângulo. Ou seja, a gente vem até aqui, aí usamos g(4) para o próximo retângulo, então, é bem aqui. Por último, usamos g(6) para encontrar a altura do nosso terceiro e último retângulo, ou seja, bem aqui. Agora, perceba que ao realizar um somatório das áreas desses retângulos, fica claro que teremos algo superestimado aqui, ou seja, a soma de Riemann à esquerda será superestimada. Mas por que sabemos disso? Porque se a gente observar bem aqui, a gente percebe que a área que estamos tentando aproximar está contida nos retângulos, e esses retângulos têm essas áreas excedentes aqui. Então teremos uma área maior para a área que cada um deles está tentando aproximar. Em geral, se você tem uma função que está estritamente diminuindo ao longo do intervalo que nos interessa, como este aqui, que está diminuindo o tempo todo, se você usar a borda esquerda de cada subdivisão para aproximar, você vai ter uma soma superestimada, porque o valor da função na borda esquerda vai ser maior do que o valor em qualquer um dos pontos na subdivisão. E é por isso que se esta função está diminuindo, a soma de Riemann à esquerda está realizando uma superestimação. Agora vamos pensar sobre a soma de Riemann à direita? E você já percebeu que vai ser o oposto, não é? Mas vamos visualizar isso? Vamos pegar as mesmas três subdivisões, mas agora vamos usar o lado direito de cada uma dessas subdivisões para definir a altura. Para este primeiro retângulo aqui, a altura vai ser definida por g(4), que está aqui. Já o segundo retângulo, vai ser definido por g(6), que está bem aqui. E o terceiro vai ser definido por g(8). Vamos pintar isso aqui para deixar mais claro sobre quais retângulos eu estou falando. É uma subestimação porque vemos em cada um desses intervalos a soma de Riemann à direita, ou o retângulo que estamos usando na soma de Riemann à direita, ser um subconjunto da área que estamos tentando estimar. Nós não podemos capturar esta área extra aqui. E, mais uma vez, isso ocorre porque temos uma função que está estritamente decrescendo. Então, se você usar a extremidade direita de qualquer um desses, ou o lado direito de qualquer uma dessas subdivisões para definir a altura, aquele valor à direita de "g" será o menor valor de "g" nessa subdivisão, então teremos uma altura menor do que a altura média do valor da função nesse intervalo. Sendo assim, teremos uma subestimação nesta situação. Agora, se a sua função estivesse estritamente aumentando, essas duas coisas seriam trocadas. Mas claro, existem funções que não estão estritamente aumentando ou diminuindo. Neste caso, isso aqui dependeria da função. Em certos momentos, vai depender até das subdivisões que você escolheu para saber se teremos uma superestimação ou uma subestimação. Enfim, meu amigo ou minha amiga, eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que vimos aqui e mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!