O que vamos tentar fazer
nesse vídeo é aproximar a área sob a curva
y igual a x ao quadrado mais um entre os intervalos
x igual a um e x igual a três. E vamos aproximar
esse valor construindo quatro retângulos
sob a curva, com mesma largura. Primeiro, vamos pensar no que
esses retângulos parecem ser quatro retângulos de mesma largura. Parece com isso e isso e isso. E eu ainda não defini o
topo dos retângulos. Vamos pensar quanto
as larguras devem valer, se elas precisam ser iguais; E podemos chamar essa altura de delta x. Então essa distância bem aqui vamos chamar de delta x. Então, delta x
tem que ser a distância total que percorreremos em x. Terminamos no três. Começamos no um. E queremos quatro retângulos
com mesma largura. Então cada um é igual a 1/2. Por exemplo, esse primeiro intervalo entre o limite do primeiro e o
segundo retângulo será 1,5. Então mais 1/2 é igual a dois. então vamos para 2,5. e mais 1/2 vamos a três. Agora, vamos pensar como
definimos a altura dos retângulos. Para o bem desse vídeo--veremos
em vídeos futuros que é possível fazer
isso diferente. Vou usar o limite esquerdo do retângulo para definir a altura
--ou a função, eu deveria dizer. Vou usar a função
avaliada no limite esquerdo para definir a altura. Por exemplo, para o primeiro retângulo, esse ponto aqui é f de um. E isso é a altura do nosso primeiro retângulo. Então vamos para o limite esquerdo do segundo retângulo. Agora estamos olhando para a função
no ponto 1,5. Que é f de 1,5. Essa é a altura. Temos nosso segundo retângulo Então -- e continuamos assim -- tomamos para esse terceiro retângulo, temos a função avaliada no dois. Está bem aqui. É f de dois. E então, temos nosso terceiro retângulo. E, finalmente, temos
nosso quarto retângulo, a função em 2,5. Então, a função avaliada
em 2,5 é a altura. E isso é f de 2,5. Lembre-se, em cada um desses, só estou considerando o limite
esquerdo do retângulo e avaliando a função lá para conseguir a altura
do retângulo. Agora que eu defini esse parte, qual é, aproximadamente, a área total usando a soma desses retângulos? Claramente não será
uma aproximação perfeita. Estou deixando uma boa parte da área aqui. Deixe-me ver se posso colorir isso
com uma cor que ainda não usei. Estou deixando essa área aqui.
E todas essas outras. Mas é só uma aproximação, Talvez se tivesse
muito mais retângulos, eu teria uma aproximação melhor. Pense no que as áreas de cada
um dos retângulos são. A área desse primeiro retângulo será a altura, que é f de um, vezes a base, que é delta x. A área do segundo retângulo será a altura, que já dissemos
que era f de 1,5, vezes a base, vezes delta x. A altura do terceiro triângulo será a função avaliada
no seu limite esquerdo, que é f de dois -- então, mais f de dois
vezes a base, vezes delta x. E então, finalmente,
a área do último retângulo, a altura é a função avaliada em 2,5, mais -- essa cor é diferente da que eu queria usar queria usar laranja -- então mais a função avaliada em 2,5
vezes a base. Isso será igual à nossa área
aproximada -- vou esclarecer --
área aproximada sob a curva simplesmente a soma
desses retângulos. Vamos calcular isso. Isto será igual a f de -- será igual à função avaliada em um. um ao quadrado mais um, que é dois,
então será dois vezes 1/2. Mais a função avaliada em 1,25. 1,25 ao quadrado é igual a 2,25. Aí você adiciona um a isso, que fica 3,25. Então, mais 3,25 vezes 1/2. E então, temos a função avaliada em dois. Bem, dois ao quadrado mais um é
cinco, então temos cinco vezes 1/2. E finalmente, você terá
a função avaliada em 2,5. 2,5 ao quadrado são 6,25, mais um. Que dá 7,25 vezes 1/2. E para descomplicar as contas podemos fatorar o 1/2. Isso será igual a--
vou escrever 1/2 com uma cor neutra-- 1/2 vezes dois mais 3,25. mais cinco, mais 7,25 que é igual a 1/2 vezes--
vou tentar resolver de cabeça. dois mais cinco é fácil. É igual a sete. três mais sete é igual a 10. e temos 0,25 mais 0,25, e isso dá 10,5 mais sete
que é igual a 17,5. E 1/2 vezes 17,5 é igual a 8,75, que, mais uma vez,
nos dá uma aproximação. E, obviamente, do jeito que desenhei aqui para a função que estamos usando a aproximação é subestimada
porque deixamos de lado toda a área em rosa
que eu pintei anteriormente. É subestimada mas é uma aproximação
da área sob a curva. Nos próximos vídeos tentaremos generalizar isso para situações em que temos funções arbitrárias e um número arbitrário de retângulos. E também iniciaremos
-- em vídeos depois desses pensaremos nos retângulos onde
definimos a altura não pelo limite esquerdo, mas pelo limite direito, ou pelo meio dos limites ou talvez, nem usemos retângulos. talvez possamos usar coisas como
trapezóides. de qualquer forma, divirta-se. [Legendado por Evelin Farias]
[revisado por Clara Nascimento Silva]