Introdução à aproximação de Riemann

O que vamos tentar fazer nesse vídeo é aproximar a área sob a curva y igual a x ao quadrado mais um entre os intervalos x igual a um e x igual a três. E vamos aproximar esse valor construindo quatro retângulos sob a curva, com mesma largura. Primeiro, vamos pensar no que esses retângulos parecem ser quatro retângulos de mesma largura. Parece com isso e isso e isso. E eu ainda não defini o topo dos retângulos. Vamos pensar quanto as larguras devem valer, se elas precisam ser iguais; E podemos chamar essa altura de delta x. Então essa distância bem aqui vamos chamar de delta x. Então, delta x tem que ser a distância total que percorreremos em x. Terminamos no três. Começamos no um. E queremos quatro retângulos com mesma largura. Então cada um é igual a 1/2. Por exemplo, esse primeiro intervalo entre o limite do primeiro e o segundo retângulo será 1,5. Então mais 1/2 é igual a dois. então vamos para 2,5. e mais 1/2 vamos a três. Agora, vamos pensar como definimos a altura dos retângulos. Para o bem desse vídeo--veremos em vídeos futuros que é possível fazer isso diferente. Vou usar o limite esquerdo do retângulo para definir a altura --ou a função, eu deveria dizer. Vou usar a função avaliada no limite esquerdo para definir a altura. Por exemplo, para o primeiro retângulo, esse ponto aqui é f de um. E isso é a altura do nosso primeiro retângulo. Então vamos para o limite esquerdo do segundo retângulo. Agora estamos olhando para a função no ponto 1,5. Que é f de 1,5. Essa é a altura. Temos nosso segundo retângulo Então -- e continuamos assim -- tomamos para esse terceiro retângulo, temos a função avaliada no dois. Está bem aqui. É f de dois. E então, temos nosso terceiro retângulo. E, finalmente, temos nosso quarto retângulo, a função em 2,5. Então, a função avaliada em 2,5 é a altura. E isso é f de 2,5. Lembre-se, em cada um desses, só estou considerando o limite esquerdo do retângulo e avaliando a função lá para conseguir a altura do retângulo. Agora que eu defini esse parte, qual é, aproximadamente, a área total usando a soma desses retângulos? Claramente não será uma aproximação perfeita. Estou deixando uma boa parte da área aqui. Deixe-me ver se posso colorir isso com uma cor que ainda não usei. Estou deixando essa área aqui. E todas essas outras. Mas é só uma aproximação, Talvez se tivesse muito mais retângulos, eu teria uma aproximação melhor. Pense no que as áreas de cada um dos retângulos são. A área desse primeiro retângulo será a altura, que é f de um, vezes a base, que é delta x. A área do segundo retângulo será a altura, que já dissemos que era f de 1,5, vezes a base, vezes delta x. A altura do terceiro triângulo será a função avaliada no seu limite esquerdo, que é f de dois -- então, mais f de dois vezes a base, vezes delta x. E então, finalmente, a área do último retângulo, a altura é a função avaliada em 2,5, mais -- essa cor é diferente da que eu queria usar queria usar laranja -- então mais a função avaliada em 2,5 vezes a base. Isso será igual à nossa área aproximada -- vou esclarecer -- área aproximada sob a curva simplesmente a soma desses retângulos. Vamos calcular isso. Isto será igual a f de -- será igual à função avaliada em um. um ao quadrado mais um, que é dois, então será dois vezes 1/2. Mais a função avaliada em 1,25. 1,25 ao quadrado é igual a 2,25. Aí você adiciona um a isso, que fica 3,25. Então, mais 3,25 vezes 1/2. E então, temos a função avaliada em dois. Bem, dois ao quadrado mais um é cinco, então temos cinco vezes 1/2. E finalmente, você terá a função avaliada em 2,5. 2,5 ao quadrado são 6,25, mais um. Que dá 7,25 vezes 1/2. E para descomplicar as contas podemos fatorar o 1/2. Isso será igual a-- vou escrever 1/2 com uma cor neutra-- 1/2 vezes dois mais 3,25. mais cinco, mais 7,25 que é igual a 1/2 vezes-- vou tentar resolver de cabeça. dois mais cinco é fácil. É igual a sete. três mais sete é igual a 10. e temos 0,25 mais 0,25, e isso dá 10,5 mais sete que é igual a 17,5. E 1/2 vezes 17,5 é igual a 8,75, que, mais uma vez, nos dá uma aproximação. E, obviamente, do jeito que desenhei aqui para a função que estamos usando a aproximação é subestimada porque deixamos de lado toda a área em rosa que eu pintei anteriormente. É subestimada mas é uma aproximação da área sob a curva. Nos próximos vídeos tentaremos generalizar isso para situações em que temos funções arbitrárias e um número arbitrário de retângulos. E também iniciaremos -- em vídeos depois desses pensaremos nos retângulos onde definimos a altura não pelo limite esquerdo, mas pelo limite direito, ou pelo meio dos limites ou talvez, nem usemos retângulos. talvez possamos usar coisas como trapezóides. de qualquer forma, divirta-se. [Legendado por Evelin Farias] [revisado por Clara Nascimento Silva]