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Cálculo Avançado AB

Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 6

Lição 3: Somas de Riemann, notação de somatório e notação de integral definida

Integral definida como o limite de uma soma de Riemann

Somas de Riemann nos ajudam a aproximar integrais definidas, mas também nos ajudam a defini-las formalmente. Aprenda como isso é feito e como podemos alternar entre a representação da área como uma integral definida e como uma soma de Riemann.

Integrais definidas representam a área sob a curva de uma função e as somas de Riemann nos ajudam a aproximar estas áreas. A questão permanece: existe alguma maneira de calcular o valor exato de uma integral definida?

Somas de Riemann com retângulos "infinitos"

Imagine que queiramos calcular a área sob o gráfico de

f (x) = \frac{1}{5} x^{2}

entre

x = 2

x = 6

Usando a notação da integral definida, podemos representar a área exata:

\int_{2}^{6} \frac{1}{5} x^{2} d x

Podemos aproximar essa área usando as somas de Riemann. Seja

R (n)

a aproximação da soma de Riemann à direita de nossa área usando

n

subdivisões iguais (ou seja,

n

retângulos de largura igual).

Por exemplo, esta é

R (4)

. Você pode notar que a área real está superestimada.

Podemos melhorar nossa aproximação dividindo a área em mais retângulos com menor largura, isto é, usando

R (n)

para valores maiores de

n

É possível ver como a aproximação se aproxima mais da área real à medida que o número de retângulos vai de

1

para

100

Evidentemente, ao usarmos cada vez mais retângulos, vamos nos aproximar ainda mais, mas uma aproximação sempre será apenas uma aproximação.

E se pudéssemos ter uma soma de Riemann com infinitas subdivisões iguais? Isto é possível? Não podemos definir

n = \infty

, pois o infinito não é um número real, mas talvez você se lembre de que podemos tender algo ao infinito...

Limites!

Especificamente, este limite:

lim_{n \to \infty} R (n)

Fato incrível 1: este limite realmente nos dá o valor exato de

\int_{2}^{6} \frac{1}{5} x^{2} d x

Fato incrível 2: não faz diferença usar o limite de uma soma de Riemann à direita, de uma soma de Riemann à esquerda, ou de qualquer outra aproximação comum. No infinito, sempre teremos o valor exato da integral definida.

(A prova rigorosa destes fatos é demasiadamente elaborada para ser abordada neste artigo, mas isso não é um problema, pois estamos interessados apenas no raciocínio por trás da conexão entre somas de Riemann e integrais definidas).

Até o momento, usamos

R (n)

como um substituto da aproximação da soma de Riemann à direita com

n

subdivisões. Agora, vamos encontrar a expressão real.

Revisão rápida: buscamos

Δ x

, a

largura

constante de qualquer retângulo, e

x_{i}

, o valor de

x

da extremidade direita do

i^{ésimo}

retângulo. Então,

f (x_{i})

nos dará a

altura

de cada retângulo.

\begin{aligned} Δ x & = \frac{6 - 2}{n} = \frac{4}{n} \\ x_{i} & = 2 + Δ x \cdot i = 2 + \frac{4}{n} i \\ f (x_{i}) & = \frac{1}{5} (x_{i})^{2} = \frac{1}{5} {(2 + \frac{4}{n} i)}^{2} \end{aligned}

Portanto, a área do

i^{ésimo}

retângulo é

\frac{4}{n} \cdot \frac{1}{5} {(2 + \frac{4}{n} i)}^{2}

, e somamos isso para valores de

i

1

n

R (n) = \sum_{i = 1}^{n} {(2 + \frac{4 i}{n})}^{2} \cdot \frac{4}{5 n}

Agora, podemos representar a área real como um limite:

\begin{aligned} \int_{2}^{6} \frac{1}{5} x^{2} d x \\ = lim_{n \to \infty} R (n) \\ = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} {(2 + \frac{4 i}{n})}^{2} \cdot \frac{4}{5 n} \end{aligned}

Por definição, a integral definida é o limite da soma de Riemann

O exemplo acima é um caso específico da definição geral de integrais definidas:

A integral definida de uma função contínua

f

sobre o intervalo

[a, b]

, expressa por

\int_{a}^{b} f (x) d x

, é o limite de uma soma de Riemann conforme o número de subdivisões se aproxima do infinito. Ou seja,

\int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} Δ x \cdot f (x_{i})

em que

Δ x = \frac{b - a}{n}

x_{i} = a + Δ x \cdot i

Se tivermos que escrever uma soma de Riemann a partir de uma integral definida...

Imagine que tenhamos que escrever a seguinte integral definida como o limite de uma soma de Riemann.

\int_{π}^{2 π} \cos (x) d x

Primeiramente, vamos calcular

Δ x

\begin{aligned} Δ x & = \frac{b - a}{n} \\ = \frac{2 π - π}{n} \\ = \frac{π}{n} \end{aligned}

Agora que temos

Δ x

, podemos calcular

x_{i}

\begin{aligned} x_{i} & = a + Δ x \cdot i \\ = π + \frac{π}{n} \cdot i \\ = π + \frac{π i}{n} \end{aligned}

Portanto,

\int_{π}^{2 π} \cos (x) d x = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \frac{π}{n} \cdot \cos (π + \frac{π i}{n})

Pratique escrever somas de Riemann a partir de integrais definidas

Problema 1

\int_{0}^{3} e^{x} d x = ?

Problema 2

\int_{1}^{e} \ln x d x = ?

Erro comum: chegar a uma expressão errada para $Δ x$ ‍

Por exemplo, no problema 2, podemos imaginar que um aluno talvez defina

Δ x

como

\frac{e}{n}

\frac{1}{n}

, em vez de

\frac{e - 1}{n}

. Outro exemplo é simplesmente usar

d x

para

Δ x

. Lembre-se de que

d x

é usada apenas na notação da integral, e não na soma. Ela nos diz que a integração está relacionada a

x

Outro erro comum: chegar a uma expressão errada para $x_{i}$ ‍

Um aluno pode esquecer de somar

a

Δ x \cdot i

, o que resultará em uma expressão errada. Por exemplo, no problema 2, um aluno talvez defina

x_{i}

como sendo

\frac{e - 1}{n} \cdot i

, em vez de

1 + \frac{e - 1}{n} \cdot i

Se tivermos que escrever uma integral definida a partir do limite de uma soma de Riemann...

Imagine que tenhamos que encontrar uma integral definida equivalente a este limite:

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \ln (2 + \frac{5 i}{n}) \cdot \frac{5}{n}

Isso significa que temos que encontrar o intervalo de integração

[a, b]

e a

f (x)

integrando. Então, a integral definida correspondente será

\int_{a}^{b} f (x) d x

Sabemos que toda soma de Riemann tem duas partes: a largura

Δ x

e a altura

f (x_{i})

de cada retângulo da soma. Olhando este limite específico, podemos fazer escolhas razoáveis para as duas partes.

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \ln (2 + \frac{5 i}{n}) \cdot \frac{5}{n}

Retângulos de largura uniforme: a expressão

\frac{5}{n}

é uma escolha razoável para a largura de nossos retângulos,

Δ x

, pois ela não depende do índice

i

. Isto significa que

Δ x

será igual para todos os termos da soma, que é o que esperaríamos de uma soma de Riemann na qual todos os retângulos têm a mesma largura.

Retângulos de altura variável: a expressão

\ln (2 + \frac{5 i}{n})

depende de

i

, o que a torna uma boa escolha para representar a altura,

f (x_{i})

. A escolha mais natural para

x_{i}

2 + \frac{5 i}{n}

, portanto vamos desenvolver isso, o que significa que estamos integrando a função

f (x) = \ln (x)

Para determinar os limites de integração,

a

b

, vamos retornar às definições gerais de

Δ x

x_{i}

em relação à integral definida.

Como definido acima,

x_{i} = a + Δ x \cdot i

. Neste problema em específico,

x_{i} = 2 + \frac{5 i}{n}

, que pode ser escrito como

2 + \frac{5}{n} i

, portanto

a

deve ser igual a

2

Como definido acima,

Δ x = \frac{b - a}{n}

. Neste problema em específico,

Δ x = \frac{5}{n}

. Os dois denominadores são

n

, então os numeradores devem ser iguais a:

b - a = 5

. Já sabemos que

a = 2

, então podemos concluir que

b = 7

Ao juntarmos todas essas informações, chegamos a esta integral definida que é igual ao limite da soma de Riemann:

\int_{2}^{7} \ln (x) d x

Pratique escrever integrais definidas a partir de somas de Riemann

Problema 3.A

O conjunto de problemas 3 o guiará pelas etapas do cálculo da integral definida representada por esta expressão:

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} {(3 + \frac{4 i}{n})}^{2} \cdot \frac{4}{n}

Qual é o $Δ x$ ‍ nesta expressão?

Dificuldade comum: encontrar o $Δ x$ ‍ na expressão da soma de Riemann

Quando a expressão somada é complexa e inclui diversas frações, pode ser difícil identificar qual parte dela é o

Δ x

Lembre-se de que o $Δ x$ ‍ deve ser um fator da expressão somada, na forma $\frac{k}{n}$ ‍, em que $k$ ‍ não contém o índice $i$ ‍ do somatório.

Outra dificuldade comum: encontrar os limites de integração

Observe como, no conjunto de problemas 3, o fato de

Δ x = \frac{4}{n}

nos informou que

b - a = 4

. Isso é útil, mas sem determinar

a

não saberemos quais são

a

b

. Podemos determinar

a

usando o fato de que

x_{i} = 3 + \frac{4 i}{n}

Um erro comum é assumir imediatamente que se, por exemplo, $Δ x = \frac{4}{n}$ ‍, então os limites de integração serão $[0, 4]$ ‍.

Uma última dificuldade comum: dificuldade geral de análise da expressão

Alguns alunos simplesmente não sabem por onde começar.

Comece com a expressão somada. Você deve ser capaz de identificar dois fatores: um na forma $\frac{k}{n}$ ‍ (em que $k$ ‍ não contém o índice $i$ ‍ do somatório) e outro que é uma função de $i$ ‍. O primeiro lhe dará $Δ x$ ‍ e o outro, $f (x_{i})$ ‍.

Problema 4

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{4 + \frac{5 i}{n}} \cdot \frac{5}{n} = ?

Quer praticar mais? Experimente este exercício.

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Daniel Cruz
Publicado há há 4 meses. Link direto para a postagem “Artigo maravilhoso, expli...” de Daniel Cruz
Artigo maravilhoso, explica clara e minuciosamente os mecanismos de definições e aplicações, e de modo tão simples e inteligível que é difícil de encontrar inclusive nos livros do ensino superior. Obrigado e meus parabéns!
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