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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 6
Lição 3: Somas de Riemann, notação de somatório e notação de integral definida- Notação de somatório
- Notação de somatório
- Exemplos resolvidos: notação de somatório
- Notação de somatório
- Somas de Riemann em notação de somatório
- Somas de Riemann em notação de somatório
- Exemplo resolvido: somas de Riemann em notação de somatório.
- Somas de Riemann em notação de somatório
- Integral definida como o limite de uma soma de Riemann
- Integral definida como o limite de uma soma de Riemann
- Exemplo prático: reescrevendo uma integral definida como o limite de uma soma de Riemann
- Exemplo prático: reescrevendo o limite de uma soma de Riemann como uma integral definida
- Integral definida como o limite de uma soma de Riemann
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Integral definida como o limite de uma soma de Riemann
Somas de Riemann nos ajudam a aproximar integrais definidas, mas também nos ajudam a defini-las formalmente. Aprenda como isso é feito e como podemos alternar entre a representação da área como uma integral definida e como uma soma de Riemann.
Integrais definidas representam a área sob a curva de uma função e as somas de Riemann nos ajudam a aproximar estas áreas. A questão permanece: existe alguma maneira de calcular o valor exato de uma integral definida?
Somas de Riemann com retângulos "infinitos"
Imagine que queiramos calcular a área sob o gráfico de entre e .
Usando a notação da integral definida, podemos representar a área exata:
Podemos aproximar essa área usando as somas de Riemann. Seja a aproximação da soma de Riemann à direita de nossa área usando subdivisões iguais (ou seja, retângulos de largura igual).
Por exemplo, esta é . Você pode notar que a área real está superestimada.
Podemos melhorar nossa aproximação dividindo a área em mais retângulos com menor largura, isto é, usando para valores maiores de .
É possível ver como a aproximação se aproxima mais da área real à medida que o número de retângulos vai de para :
Evidentemente, ao usarmos cada vez mais retângulos, vamos nos aproximar ainda mais, mas uma aproximação sempre será apenas uma aproximação.
E se pudéssemos ter uma soma de Riemann com infinitas subdivisões iguais? Isto é possível? Não podemos definir , pois o infinito não é um número real, mas talvez você se lembre de que podemos tender algo ao infinito...
Limites!
Especificamente, este limite:
Fato incrível 1: este limite realmente nos dá o valor exato de .
Fato incrível 2: não faz diferença usar o limite de uma soma de Riemann à direita, de uma soma de Riemann à esquerda, ou de qualquer outra aproximação comum. No infinito, sempre teremos o valor exato da integral definida.
(A prova rigorosa destes fatos é demasiadamente elaborada para ser abordada neste artigo, mas isso não é um problema, pois estamos interessados apenas no raciocínio por trás da conexão entre somas de Riemann e integrais definidas).
Até o momento, usamos como um substituto da aproximação da soma de Riemann à direita com subdivisões. Agora, vamos encontrar a expressão real.
Revisão rápida: buscamos , a constante de qualquer retângulo, e , o valor de da extremidade direita do retângulo. Então, nos dará a de cada retângulo.
Portanto, a área do retângulo é , e somamos isso para valores de de a :
Agora, podemos representar a área real como um limite:
Por definição, a integral definida é o limite da soma de Riemann
O exemplo acima é um caso específico da definição geral de integrais definidas:
A integral definida de uma função contínua sobre o intervalo , expressa por , é o limite de uma soma de Riemann conforme o número de subdivisões se aproxima do infinito. Ou seja,
em que e .
Se tivermos que escrever uma soma de Riemann a partir de uma integral definida...
Imagine que tenhamos que escrever a seguinte integral definida como o limite de uma soma de Riemann.
Primeiramente, vamos calcular :
Agora que temos , podemos calcular :
Portanto,
Pratique escrever somas de Riemann a partir de integrais definidas
Erro comum: chegar a uma expressão errada para
Por exemplo, no problema 2, podemos imaginar que um aluno talvez defina como ou , em vez de . Outro exemplo é simplesmente usar para . Lembre-se de que é usada apenas na notação da integral, e não na soma. Ela nos diz que a integração está relacionada a .
Outro erro comum: chegar a uma expressão errada para
Um aluno pode esquecer de somar a , o que resultará em uma expressão errada. Por exemplo, no problema 2, um aluno talvez defina como sendo , em vez de .
Se tivermos que escrever uma integral definida a partir do limite de uma soma de Riemann...
Imagine que tenhamos que encontrar uma integral definida equivalente a este limite:
Isso significa que temos que encontrar o intervalo de integração e a integrando. Então, a integral definida correspondente será .
Sabemos que toda soma de Riemann tem duas partes: a largura e a altura de cada retângulo da soma. Olhando este limite específico, podemos fazer escolhas razoáveis para as duas partes.
Retângulos de largura uniforme: a expressão é uma escolha razoável para a largura de nossos retângulos, , pois ela não depende do índice . Isto significa que será igual para todos os termos da soma, que é o que esperaríamos de uma soma de Riemann na qual todos os retângulos têm a mesma largura.
Retângulos de altura variável: a expressão depende de , o que a torna uma boa escolha para representar a altura, . A escolha mais natural para é , portanto vamos desenvolver isso, o que significa que estamos integrando a função .
Para determinar os limites de integração, e , vamos retornar às definições gerais de e em relação à integral definida.
Como definido acima, . Neste problema em específico, , que pode ser escrito como , portanto deve ser igual a .
Como definido acima, . Neste problema em específico, . Os dois denominadores são , então os numeradores devem ser iguais a: . Já sabemos que , então podemos concluir que .
Ao juntarmos todas essas informações, chegamos a esta integral definida que é igual ao limite da soma de Riemann:
Pratique escrever integrais definidas a partir de somas de Riemann
Dificuldade comum: encontrar o na expressão da soma de Riemann
Quando a expressão somada é complexa e inclui diversas frações, pode ser difícil identificar qual parte dela é o .
Lembre-se de que o deve ser um fator da expressão somada, na forma , em que não contém o índice do somatório.
Outra dificuldade comum: encontrar os limites de integração
Observe como, no conjunto de problemas 3, o fato de nos informou que . Isso é útil, mas sem determinar não saberemos quais são e . Podemos determinar usando o fato de que .
Um erro comum é assumir imediatamente que se, por exemplo, , então os limites de integração serão .
Uma última dificuldade comum: dificuldade geral de análise da expressão
Alguns alunos simplesmente não sabem por onde começar.
Comece com a expressão somada. Você deve ser capaz de identificar dois fatores: um na forma (em que não contém o índice do somatório) e outro que é uma função de . O primeiro lhe dará e o outro, .
Quer praticar mais? Experimente este exercício.
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- Artigo maravilhoso, explica clara e minuciosamente os mecanismos de definições e aplicações, e de modo tão simples e inteligível que é difícil de encontrar inclusive nos livros do ensino superior. Obrigado e meus parabéns!(4 votos)