Notação de somatório (artigo)

A notação de somatório (ou notação sigma) nos permite escrever uma soma longa em uma única expressão.

Desvendando o significado da notação de somatório

Este é o símbolo sigma:

\sum

. Ele nos diz que nós estamos somando algo.

Vamos começar com um exemplo básico:

\begin{aligned} Parar em n = 3 \\ (inclusive) \\ ↘ \\ \sum_{n = 1}^{3} & 2 n - 1 \\ ↖ \\ ↗ & Expressão para cada \\ Começa em n = 1 & termo do somatório \end{aligned}

Este é um somatório da expressão

2 n - 1

para valores inteiros de

n

1

3

\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{3} 2 n - 1 \\ = \underset{n = 1}{\underset{⏟}{[2 (1) - 1]}} + \underset{n = 2}{\underset{⏟}{[2 (2) - 1]}} + \underset{n = 3}{\underset{⏟}{[2 (3) - 1]}} \\ = 1 + 3 + 5 \\ = 9 \end{aligned}

Observe como substituímos

n = 1

n = 2

n = 3

2 n - 1

e somamos os termos resultantes.

n

é nosso índice do somatório. Quando avaliamos uma expressão de somatório, substituímos valores diferentes no nosso índice.

Problema 1

\sum_{n = 1}^{4} n^{2} = ?

Podemos começar e terminar a soma em qualquer valor de

n

. Por exemplo, esta soma toma valores inteiros de

n

desde

4

6

\begin{aligned} \sum_{n = 4}^{6} n - 1 \\ = \underset{n = 4}{\underset{⏟}{(4 - 1)}} + \underset{n = 5}{\underset{⏟}{(5 - 1)}} + \underset{n = 6}{\underset{⏟}{(6 - 1)}} \\ = 3 + 4 + 5 \\ = 12 \end{aligned}

Podemos usar qualquer letra que quisermos para nosso índice. Por exemplo, esta expressão tem

i

como índice:

\begin{aligned} \sum_{i = 0}^{2} 3 i - 5 \\ = \underset{i = 0}{\underset{⏟}{[3 (0) - 5]}} + \underset{i = 1}{\underset{⏟}{[3 (1) - 5]}} + \underset{i = 2}{\underset{⏟}{[3 (2) - 5]}} \\ = - 5 + (- 2) + 1 \\ = - 6 \end{aligned}

Problema 2

\sum_{k = 3}^{5} k (k + 1) =

Problema 3

Considere a soma

4 + 25 + 64 + 121

Qual expressão é igual à soma acima?

Algumas expressões de somatório tem outras variáveis além do índice. Considere esta soma:

\sum_{n = 1}^{4} \frac{k}{n + 1}

Observe que nosso índice é

n

, não

k

. Isto significa que podemos substituir os valores em

n

, e

k

permanece desconhecido:

\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{3} \frac{k}{n + 1} \\ = \frac{k}{(1) + 1} + \frac{k}{(2) + 1} + \frac{k}{(3) + 1} \\ = \frac{k}{2} + \frac{k}{3} + \frac{k}{4} \end{aligned}

O que é importante lembrar: antes de avaliar uma soma na notação de somatório, sempre tenha certeza de que você identificou o índice e que está substituindo apenas o índice. Outras incógnitas devem permanecer como são.

Problema 4

\sum_{m = 1}^{4} 8 k - 6 m = ?

Quer praticar mais? Tente este exercício.

Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 6

Notação de somatório

Desvendando o significado da notação de somatório

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