Conteúdo principal
Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 6
Lição 3: Somas de Riemann, notação de somatório e notação de integral definida- Notação de somatório
- Notação de somatório
- Exemplos resolvidos: notação de somatório
- Notação de somatório
- Somas de Riemann em notação de somatório
- Somas de Riemann em notação de somatório
- Exemplo resolvido: somas de Riemann em notação de somatório.
- Somas de Riemann em notação de somatório
- Integral definida como o limite de uma soma de Riemann
- Integral definida como o limite de uma soma de Riemann
- Exemplo prático: reescrevendo uma integral definida como o limite de uma soma de Riemann
- Exemplo prático: reescrevendo o limite de uma soma de Riemann como uma integral definida
- Integral definida como o limite de uma soma de Riemann
© 2023 Khan AcademyTermos de usoPolítica de privacidadeAviso de cookies
Somas de Riemann em notação de somatório
A notação de somatório pode ser usada para escrever somas de Riemann em uma forma compacta. Isso é um desafio, mas é um importante passo para uma definição formal da integral definida.
A notação de somatório (ou notação sigma) nos permite escrever uma soma longa com uma expressão simples. Como a notação de somatória tem múltiplos usos na matemática (e especificamente no cálculo), queremos nos concentrar em como podemos usá-la para escrever somas de Riemann.
Exemplo de escrita de uma soma de Riemann em notação de somatório
Imagine que estamos aproximando a área sob o gráfico de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, square root of, x, end square root entre x, equals, 0, comma, 5 e x, equals, 3, comma, 5.
E digamos que decidimos fazer isso escrevendo a expressão para uma soma de Riemann à direita, com quatro subdivisões iguais, usando a notação de somatório.
Seja A, left parenthesis, i, right parenthesis a área do i, start superscript, start text, e, with, \', on top, s, i, m, o, end text, end superscript retângulo na nossa aproximação.
Toda a soma de Riemann pode ser escrita assim:
O que precisamos fazer agora é calcular a expressão para A, left parenthesis, i, right parenthesis.
A largura de todo o intervalo open bracket, 0, comma, 5, ;, 3, comma, 5, close bracket é de 3 unidades, e nós queremos 4 subdivisões iguais, então a start color #1fab54, start text, l, a, r, g, u, r, a, end text, end color #1fab54 de cada retângulo é de 3, divided by, 4, equals, start color #1fab54, 0, comma, 75, end color #1fab54 unidades.
A start color #e07d10, start text, a, l, t, u, r, a, end text, end color #e07d10 de cada retângulo é o valor de f na extremidade direita do retângulo (isso porque essa é uma soma de Riemann à direita).
Seja start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd a extremidade direita do i, start superscript, start text, e, with, \', on top, s, i, m, o, end text, end superscript retângulo. Para calcular x, start subscript, i, end subscript para qualquer valor de i, começamos em x, equals, 0, comma, 5 (a extremidade esquerda do intervalo) e vamos somando a largura comum start color #1fab54, 0, comma, 75, end color #1fab54 repetidamente.
Portanto, a fórmula de start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd é start color #11accd, 0, comma, 5, plus, 0, comma, 75, i, end color #11accd. Agora, a start color #e07d10, start text, a, l, t, u, r, a, end text, end color #e07d10 de cada retângulo é o valor de f em sua extremidade direita:
E assim, nós chegamos a uma expressão geral para a área do i, start superscript, start text, e, with, \', on top, s, i, m, o, end text, end superscript retângulo:
Agora, tudo que falta é somar essa expressão para valores de i de 1 a 4:
E é isso!
Resumo do processo de escrever uma soma de Riemann em notação de somatório
Imagine que queremos aproximar a área sob o gráfico de f no intervalo open bracket, a, comma, b, close bracket com n subdivisões iguais.
Defina delta, x: seja start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 a start color #1fab54, start text, l, a, r, g, u, r, a, end text, end color #1fab54 de cada retângulo, então start color #1fab54, delta, x, equals, start fraction, b, minus, a, divided by, n, end fraction, end color #1fab54.
Defina x, start subscript, i, end subscript: seja start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd a extremidade direita de cada retângulo, então start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, equals, a, plus, delta, x, dot, i, end color #11accd.
Defina a área do i, start superscript, start text, e, with, \', on top, s, i, m, o, end text, end superscript retângulo: a start color #e07d10, start text, a, l, t, u, r, a, end text, end color #e07d10 de cada retângulo será então start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10, e a área de cada retângulo será start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10.
Some os retângulos: agora nós usamos a notação de somatório para somar todas as áreas. Os valores que usamos para i é diferente para somas de Riemann à esquerda ou à direita:
- Quando estamos escrevendo uma soma de Riemann à direita, tomaremos valores de i de 1 a n.
- No entanto, quando estamos escrevendo uma soma de Riemann à esquerda, tomaremos valores de i de 0 a n, minus, 1 (isso inos dará o valor de f na extremidade esquerda de cada retângulo).
Soma de Riemann à esquerda | Soma de Riemann à direita |
---|---|
sum, start subscript, i, equals, 0, end subscript, start superscript, n, minus, 1, end superscript, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10 | sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10 |
Quer praticar mais? Tente este exercício.
Quer participar da conversa?
Nenhuma postagem por enquanto.