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Cálculo Avançado AB

Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 6

Lição 3: Somas de Riemann, notação de somatório e notação de integral definida
Matemática
Cálculo Avançado AB
Integração e acumulação de variação
Somas de Riemann, notação de somatório e notação de integral definida
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Somas de Riemann em notação de somatório

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A notação de somatório pode ser usada para escrever somas de Riemann em uma forma compacta. Isso é um desafio, mas é um importante passo para uma definição formal da integral definida.
A notação de somatório (ou notação sigma) nos permite escrever uma soma longa com uma expressão simples. Como a notação de somatória tem múltiplos usos na matemática (e especificamente no cálculo), queremos nos concentrar em como podemos usá-la para escrever somas de Riemann.

Exemplo de escrita de uma soma de Riemann em notação de somatório

Imagine que estamos aproximando a área sob o gráfico de f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, square root of, x, end square root entre x, equals, 0, comma, 5 e x, equals, 3, comma, 5.
A função y = raiz quadrada de x está representada graficamente. O eixo x vai de 0 até 4. O gráfico é uma curva. A curva começa em (0, 0), se move para cima com concavidade para baixo e termina em (4, 2). A região entre a curva e o eixo x, entre x = 0,5 e x = 3,5, está sombreada.
E digamos que decidimos fazer isso escrevendo a expressão para uma soma de Riemann à direita, com quatro subdivisões iguais, usando a notação de somatório.
O gráfico da função y tem a região sombreada dividida em 4 retângulos de largura 0,75. Cada retângulo toca a curva no canto superior direito.
Seja A, left parenthesis, i, right parenthesis a área do i, start superscript, start text, e, with, \', on top, s, i, m, o, end text, end superscript retângulo na nossa aproximação.
As áreas dos retângulos são A de 1, A de 2, A de 3 e A de 4.
Toda a soma de Riemann pode ser escrita assim:
A, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, A, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, A, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, A, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, A, left parenthesis, i, right parenthesis
O que precisamos fazer agora é calcular a expressão para A, left parenthesis, i, right parenthesis.
A largura de todo o intervalo open bracket, 0, comma, 5, ;, 3, comma, 5, close bracket é de 3 unidades, e nós queremos 4 subdivisões iguais, então a start color #1fab54, start text, l, a, r, g, u, r, a, end text, end color #1fab54 de cada retângulo é de 3, divided by, 4, equals, start color #1fab54, 0, comma, 75, end color #1fab54 unidades.
A start color #e07d10, start text, a, l, t, u, r, a, end text, end color #e07d10 de cada retângulo é o valor de f na extremidade direita do retângulo (isso porque essa é uma soma de Riemann à direita).
Seja start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd a extremidade direita do i, start superscript, start text, e, with, \', on top, s, i, m, o, end text, end superscript retângulo. Para calcular x, start subscript, i, end subscript para qualquer valor de i, começamos em x, equals, 0, comma, 5 (a extremidade esquerda do intervalo) e vamos somando a largura comum start color #1fab54, 0, comma, 75, end color #1fab54 repetidamente.
O lado esquerdo do primeiro retângulo está em x = 0,5. Some 0,75 4 vezes para conseguir os lados dos retângulos, em x 1 até x 4.
Portanto, a fórmula de start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd é start color #11accd, 0, comma, 5, plus, 0, comma, 75, i, end color #11accd. Agora, a start color #e07d10, start text, a, l, t, u, r, a, end text, end color #e07d10 de cada retângulo é o valor de f em sua extremidade direita:
start color #e07d10, f, left parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, equals, start color #e07d10, square root of, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, end square root, end color #e07d10, equals, start color #e07d10, square root of, start color #11accd, 0, comma, 5, plus, 0, comma, 75, i, end color #11accd, end square root, end color #e07d10
E assim, nós chegamos a uma expressão geral para a área do i, start superscript, start text, e, with, \', on top, s, i, m, o, end text, end superscript retângulo:
A(i)=largura⋅altura=0,75⋅0,5+0,75i\begin{aligned} A(i)&=\greenD{\text{largura}}\cdot\goldD{\text{altura}} \\\\ &=\greenD{0{,}75}\cdot\goldD{\sqrt{\blueD{0{,}5+0{,}75i}}} \end{aligned}
Agora, tudo que falta é somar essa expressão para valores de i de 1 a 4:
=A(1)+A(2)+A(3)+A(4)=∑i=14A(i)=∑i=140,75⋅0,5+0,75i\begin{aligned} &\phantom{=}A(1)+A(2)+A(3)+A(4) \\\\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^4 A(i) \\\\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^4 0{,}75\cdot\sqrt{0{,}5+0{,}75i} \end{aligned}
E é isso!

Resumo do processo de escrever uma soma de Riemann em notação de somatório

Imagine que queremos aproximar a área sob o gráfico de f no intervalo open bracket, a, comma, b, close bracket com n subdivisões iguais.
Defina delta, x: seja start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 a start color #1fab54, start text, l, a, r, g, u, r, a, end text, end color #1fab54 de cada retângulo, então start color #1fab54, delta, x, equals, start fraction, b, minus, a, divided by, n, end fraction, end color #1fab54.
Defina x, start subscript, i, end subscript: seja start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd a extremidade direita de cada retângulo, então start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, equals, a, plus, delta, x, dot, i, end color #11accd.
Defina a área do i, start superscript, start text, e, with, \', on top, s, i, m, o, end text, end superscript retângulo: a start color #e07d10, start text, a, l, t, u, r, a, end text, end color #e07d10 de cada retângulo será então start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10, e a área de cada retângulo será start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10.
Some os retângulos: agora nós usamos a notação de somatório para somar todas as áreas. Os valores que usamos para i é diferente para somas de Riemann à esquerda ou à direita:
  • Quando estamos escrevendo uma soma de Riemann à direita, tomaremos valores de i de 1 a n.
  • No entanto, quando estamos escrevendo uma soma de Riemann à esquerda, tomaremos valores de i de 0 a n, minus, 1 (isso inos dará o valor de f na extremidade esquerda de cada retângulo).
Soma de Riemann à esquerdaSoma de Riemann à direita
sum, start subscript, i, equals, 0, end subscript, start superscript, n, minus, 1, end superscript, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10
Problema 1.A
  • Atual
O conjunto de problemas 1 o levará por todo o processo de aproximar a área entre f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0, comma, 1, x, squared, plus, 1 e o eixo x no intervalo open bracket, 2, comma, 7, close bracket usando uma soma de Riemann à esquerda com 10 subdivisões iguais.
A função f está representada graficamente. O eixo x vai de 1 negativo até 9. O gráfico é uma curva. A curva começa no quadrante 2, move-se para baixo até um mínimo relativo em (0, 1), move-se para cima e termina no quadrante 1. A região entre a curva e o eixo x, entre x = 2 e x = 7, está sombreada.
Qual é o comprimento de cada retângulo, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54?
start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, equals
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 2
Nós queremos aproximar a área entre g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 5, divided by, x, end fraction, plus, 2 e o eixo x no intervalo open bracket, 1, comma, 7, close bracket usando uma soma de Riemann à direita com 9 subdivisões iguais:
A função g está representada graficamente. O eixo x vai de 1 negativo até 7. O gráfico é uma curva. A curva começa no quadrante 1, move-se para baixo com concavidade para cima e termina no quadrante 1. A região entre a curva e o eixo x, entre x = 1 e x = 7, está sombreada. A região sombreada é dividida em 9 retângulos de largura igual. Cada retângulo toca a curva no canto superior direito.
Qual expressão representa nossa aproximação?
Escolha 1 resposta:

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