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Transcrição de vídeo

no vídeo anterior tentamos calcular a área sob uma curva construindo quatro retângulos de larguras iguais e nós usamos o limite esquerdo de cada retângulo para determinar a sua altura a partir da função e calcular a área e aproximar a área sob a curva o que pretendo neste vídeo é fazer uma generalização dessa idéia para usar em uma função qualquer com limites quaisquer vamos começar representando graficamente aqui temos aqui os eixos x e y ou desenhar um gráfico de uma certa função qualquer digamos que sua representação se pareça com algo assim vamos definir aqui dois limites quaisquer digamos que aqui eu tenha x igual à eac x igual a ab eu vou agora usar n retângulos e vou usar o valor da função no limite esquerdo de cada retângulo para determinar a sua altura por exemplo aqui quando x é a altura de se re tango vai ser f a então aqui no retângulo número 1 a altura é fiável desenhá lo aqui aqui está então retângulo número 1 vou até numeral lo aqui vamos agora criar uma convenção para facilitar digamos que oa é chamado agora de x 0 o limite final do primeiro retângulo que passa a ser o inicial do segundo retângulo vai ser o valor x 1 se calcularmos o valor fd x 1 vamos ter o valor bem aqui fdx um determinando à altura do 2º retângulo temos aqui o retângulo número 2 que usaremos para aproximar a área sobre a curva da função aqui o limite do 2º retângulo é o x2 que é onde começa o terceiro retângulo e à altura dele vai ser o f x2 temos aqui então retângulo número 3 todos os retângulos com a mesma largura ea idéia é continuar este mesmo processo até chegar ao retângulo número n agora como vamos indicar este valor bem aqui verificamos um certo padrão o limite esquerdo do primeiro retângulo x 0 limite esquerdo do 2º retângulo x um limite esquerdo do terceiro retângulo x 2 então o limite esquerdo do enézimo retângulo vai ser x com o índice e menos um você deve ter percebido facilmente que para um certo retângulo o limite esquerdo dele é o xis com o índice uma unidade menor do que o número daquele retângulo e isso é baseado na convenção que definimos inicialmente você pode definir de outra forma avançando mais um pouco que nós queremos é calcular toda esta área e como é que nós vamos proceder para definir a largura de cada retângulo vamos determinar que a largura dos retângulos é sempre a mesma é constante e vamos indicá-la por delta x nós poderíamos assumir retângulos com larguras diferentes umas das outras mas tornaria o problema desnecessariamente difícil e essa largura delta x é exatamente a largura total que nós temos na soma de todos os retângulos que tamanho é esse de - a e dividir pela quantidade de retângulos que é justamente n ou seja bem menos aquela figura total dividida por n retângulos nos da largura de um retângulo só que é o que indicamos como delta x sabendo que isso é verdadeiro e entendendo que o igual x 0 o x1 é igual ao x 0 mais o delta x 1 x 2 x 1 mas o delta x e assim por diante até xn que é igual à x ele - um mais delta x e ainda sabendo que b é igual ao próprio x n chegamos então a todas as notações a todos os símbolos que precisamos para calcular o valor aproximado da área sobre a curva desta função a área total aproximada sobre a curva vai ser a área do retângulo um mais a área do retângulo 2 mas a área do retângulo três assim por diante até a área do retângulo n a área do primeiro retângulo vai ser a altura dele que é o f do x 0 vezes o delta x poderia ser f x 0 o fd a mas vamos usar a nossa convenção para o retângulo 2 a altura é f e x 1 vezes a largura delta x também do mesmo modo para o retângulo 3 a área vai ser o f 2 x 2 vezes o delta x e assim vamos seguindo até o retângulo eni ea área do retângulo ele vai ser o f do xl - um que é o que determina sua altura vezes o delta x que é a sua largura e assim inscrevemos de uma maneira bem geral a área aproximada sobre a curva daquela função como aqui temos uma somatória de parcelas que obedecem ao certo padrão eu vou aproveitar para usar uma anotação que com certeza você vai encontrar mais freqüentemente que a anotação sigma para a somatória temos aqui a somatória com indo de 1 até n vamos entender que um indica o retângulo 1 até o n que é onézimo retângulo e os termos que vamos usar nesta somatória são a área de cada retângulo então pegamos a altura de cada retângulo que é o f do x e menos um por que lembre se que o índice do x que indica a altura de cada retângulo uma unidade menor que o número do próprio retângulo e isso vezes o delta x então o que temos aqui é uma somatória que da área aproximada sobre a curva que representa uma função pelo limite esquerdo ou seja a altura de cada retângulo é definida pelo valor da função no x que está no limite à esquerda desse retângulo aproveitando para representar um retângulo qualquer com o índice e temos aqui vou desenhar que o retângulo e o limite esquerdo dele é o xis em -1 e à altura dele portanto definida pelo f 2 x 1 e menos 11 ou seja estamos tomando essa altura vezes a largura delta shiceka o retângulo somando todas e isso nos dá a área aproximada sobre o gráfico dessa função observe que o que estamos fazendo aqui não é nada além do que já fizemos no vídeo anterior mas agora de uma maneira muito mais generalizada até o próximo vídeo
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