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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 6
Lição 3: Somas de Riemann, notação de somatório e notação de integral definida- Notação de somatório
- Notação de somatório
- Exemplos resolvidos: notação de somatório
- Notação de somatório
- Somas de Riemann em notação de somatório
- Somas de Riemann em notação de somatório
- Exemplo resolvido: somas de Riemann em notação de somatório.
- Somas de Riemann em notação de somatório
- Integral definida como o limite de uma soma de Riemann
- Integral definida como o limite de uma soma de Riemann
- Exemplo prático: reescrevendo uma integral definida como o limite de uma soma de Riemann
- Exemplo prático: reescrevendo o limite de uma soma de Riemann como uma integral definida
- Integral definida como o limite de uma soma de Riemann
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Exemplo prático: reescrevendo o limite de uma soma de Riemann como uma integral definida
Quando temos o limite de uma soma de Riemann com infinitos retângulos, podemos analisar a expressão para encontrar a integral definida correspondente.
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Transcrição de vídeo
RKA8JV - Olá, meu amigo ou minha amiga.
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar sobre como
reescrever um limite da soma de Riemann como uma integral definida. Para fazer isso, observe que
temos uma soma de Riemann e estamos querendo tomar
o limite dessa soma com "n" tendendo ao infinito. O objetivo deste vídeo é ver se conseguimos reescrever isso
como uma integral definida. Eu encorajo você a pausar este vídeo e ver se você consegue fazer isso
sozinho ou sozinha. E aí, fez? Vamos fazer isso juntos agora? Bem, vamos nos lembrar aqui
como uma integral definida pode ser reescrita em uma soma de Riemann. Se eu tenho uma integral definida com os
limites de integração indo de "a" até "b" de f(x)dx, nós já vimos, em outros vídeos, que isso vai ser igual ao limite
com "n" tendendo ao infinito do somatório indo de "i" igual a 1
até um determinado "n". Basicamente, o que vamos fazer
é somar vários retângulos, onde a largura de cada retângulo
pode ser escrita como um Δx. Então, a largura vai ser um Δx
de cada um desses retângulos, e a altura vai ser o valor da função
avaliado em algum lugar naquele Δx. Se a gente estiver fazendo uma
soma de Riemann à direita, vamos pegar o fim do retângulo
ou do subintervalo. Assim, começamos com
o nosso limite inferior "a", e aí adicionamos a ele tantos Δx
conforme o nosso índice vai indicar. Por exemplo: se eu pegar o 1, vamos adicionar
apenas um Δx, assim, estaremos à direita
do nosso primeiro retângulo. Se "i" for igual a 2, somamos 2Δx, ou seja, isso vai ser Δx
vezes o nosso índice. Sendo assim, esta é a forma
geral que vimos antes. Assim, uma possibilidade que temos
para resolver nosso problema aqui é fazer uma correspondência
de padrões bem aqui. Observe que a nossa função parece ser
a função do log natural, então, a nossa função f(x)
é a função de log natural. Podemos escrever isso aqui. A função f(x) = ln(x). O que mais a gente vê aqui? Bem, "a" parece ser 2, "a = 2". Qual é o nosso Δx? Bem, você pode ver isso aqui. Esta coisa que estamos multiplicando,
que apenas é dividido por "n" e que não está sendo
multiplicado por um "i". Isso se parece com o nosso Δx, e isso bem aqui parece ser o Δx vezes "i". Então, parece que o nosso Δx
é realmente igual a 5/n. Ok, e o que podemos dizer até agora? Bem, podemos dizer que
esta coisa que em cima, esta expressão original, vai ser igual à integral definida. Sabemos que os nossos
limites de integração vão de 2 até alguma coisa. A gente não descobriu
o limite superior ainda, não descobrimos o nosso "b" ainda, mas a nossa função é o ln(x), e depois eu vou escrever um "dx" aqui. Para completar a escrita
desta integral definida, eu preciso ser capaz
de escrever o limite superior, e a maneira de descobrir o limite superior é olhando para o nosso Δx, principalmente, porque a maneira
de descobriram um Δx, para essa soma de Riemann aqui, é dizer que Δx é igual à diferença
entre os nossos limites divididos por quantas sessões
queremos dividi-los, ou seja, dividimos por ''n''. Sendo assim, temos que "Δx = b - a/n". Assim, podemos combinar o padrão aqui. Se "Δx = b - a/n", então, isto aqui vai ser igual a "b" menos o nosso "a", que é 2,
tudo isso sobre "n". Então temos que "b - 2 = 5", o que faria o nosso "b" ser igual a 7. Sendo assim, "b = 7", então aí está. Nós temos o nosso limite original, nosso limite de Riemann ou o nosso limite da soma de Riemann sendo reescrito como
uma integral definida. Mais uma vez, eu quero enfatizar
por que isso faz sentido. Se a gente quiser desenhar isso, a gente pode fazer isso
mais ou menos desse jeito. Eu vou tentar desenhar à mão livre aqui
a função de log natural. Parece ser algo mais ou menos assim. Aqui, nós vamos ter o 1, aqui o 2, e aí a gente continua seguindo
até chegar ao 7. A nossa integral definida está preocupada
com a área entre a curva e o eixo "x", entre 2 e o 7. Dessa forma, você pode
ver essa soma de Riemann. Bem, a gente pode observar aqui
rapidamente esta representação gráfica dessa soma de Riemann. Por exemplo, o que podemos dizer
quando a gente estiver em 1? Em 1, o primeiro retângulo vai ter
uma largura igual a 5/n. Então, isso é essencialmente dizer que estamos pegando a nossa
diferença entre 2 e 7, que é 5, e aí dividindo isso em "n" retângulos. Assim, este primeiro retângulo
vai ter uma largura de 5/n. E qual vai ser a altura? Bem, é uma soma de Riemann à direita, então, estamos usando o valor da função
neste ponto à direita do retângulo. Podemos, então, escrever aqui + 5/n. Este valor bem aqui vai ser,
então, o ln(2 + 5/n). E como este é o primeiro retângulo,
multiplicamos isso aqui por 1. Agora podemos continuar. Esse retângulo bem aqui
tem a mesma largura, ou seja, 5/n. Mas qual é a altura? Bem, a altura vai ser igual ao
ln(2 + 5/n vezes 2). Isso porque "i = 2''. Este aqui é "i = 1". Bem, eu espero que você esteja
vendo por que isso faz sentido. A área deste primeiro retângulo vai ser
o ln(2 + 5/n vezes 1) vezes 5/n. E o segundo aqui vai ser o
ln(2 + 5/n vezes 2) vezes 5/n. Sendo assim, isso está calculando
a soma das áreas desses retângulos, mas estamos pegando o limite
com "n" tendendo ao infinito. Devido a isso, estamos obtendo
aproximações cada vez melhores para encontrar o valor da área exata. Bem, eu espero que você tenha
compreendido tudo isso que vimos até aqui, e mais uma vez eu quero deixar
para você um grande abraço, e até a próxima!