Exemplo prático: reescrevendo o limite de uma soma de Riemann como uma integral definida

RKA8JV - Olá, meu amigo ou minha amiga. Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar sobre como reescrever um limite da soma de Riemann como uma integral definida. Para fazer isso, observe que temos uma soma de Riemann e estamos querendo tomar o limite dessa soma com "n" tendendo ao infinito. O objetivo deste vídeo é ver se conseguimos reescrever isso como uma integral definida. Eu encorajo você a pausar este vídeo e ver se você consegue fazer isso sozinho ou sozinha. E aí, fez? Vamos fazer isso juntos agora? Bem, vamos nos lembrar aqui como uma integral definida pode ser reescrita em uma soma de Riemann. Se eu tenho uma integral definida com os limites de integração indo de "a" até "b" de f(x)dx, nós já vimos, em outros vídeos, que isso vai ser igual ao limite com "n" tendendo ao infinito do somatório indo de "i" igual a 1 até um determinado "n". Basicamente, o que vamos fazer é somar vários retângulos, onde a largura de cada retângulo pode ser escrita como um Δx. Então, a largura vai ser um Δx de cada um desses retângulos, e a altura vai ser o valor da função avaliado em algum lugar naquele Δx. Se a gente estiver fazendo uma soma de Riemann à direita, vamos pegar o fim do retângulo ou do subintervalo. Assim, começamos com o nosso limite inferior "a", e aí adicionamos a ele tantos Δx conforme o nosso índice vai indicar. Por exemplo: se eu pegar o 1, vamos adicionar apenas um Δx, assim, estaremos à direita do nosso primeiro retângulo. Se "i" for igual a 2, somamos 2Δx, ou seja, isso vai ser Δx vezes o nosso índice. Sendo assim, esta é a forma geral que vimos antes. Assim, uma possibilidade que temos para resolver nosso problema aqui é fazer uma correspondência de padrões bem aqui. Observe que a nossa função parece ser a função do log natural, então, a nossa função f(x) é a função de log natural. Podemos escrever isso aqui. A função f(x) = ln(x). O que mais a gente vê aqui? Bem, "a" parece ser 2, "a = 2". Qual é o nosso Δx? Bem, você pode ver isso aqui. Esta coisa que estamos multiplicando, que apenas é dividido por "n" e que não está sendo multiplicado por um "i". Isso se parece com o nosso Δx, e isso bem aqui parece ser o Δx vezes "i". Então, parece que o nosso Δx é realmente igual a 5/n. Ok, e o que podemos dizer até agora? Bem, podemos dizer que esta coisa que em cima, esta expressão original, vai ser igual à integral definida. Sabemos que os nossos limites de integração vão de 2 até alguma coisa. A gente não descobriu o limite superior ainda, não descobrimos o nosso "b" ainda, mas a nossa função é o ln(x), e depois eu vou escrever um "dx" aqui. Para completar a escrita desta integral definida, eu preciso ser capaz de escrever o limite superior, e a maneira de descobrir o limite superior é olhando para o nosso Δx, principalmente, porque a maneira de descobriram um Δx, para essa soma de Riemann aqui, é dizer que Δx é igual à diferença entre os nossos limites divididos por quantas sessões queremos dividi-los, ou seja, dividimos por ''n''. Sendo assim, temos que "Δx = b - a/n". Assim, podemos combinar o padrão aqui. Se "Δx = b - a/n", então, isto aqui vai ser igual a "b" menos o nosso "a", que é 2, tudo isso sobre "n". Então temos que "b - 2 = 5", o que faria o nosso "b" ser igual a 7. Sendo assim, "b = 7", então aí está. Nós temos o nosso limite original, nosso limite de Riemann ou o nosso limite da soma de Riemann sendo reescrito como uma integral definida. Mais uma vez, eu quero enfatizar por que isso faz sentido. Se a gente quiser desenhar isso, a gente pode fazer isso mais ou menos desse jeito. Eu vou tentar desenhar à mão livre aqui a função de log natural. Parece ser algo mais ou menos assim. Aqui, nós vamos ter o 1, aqui o 2, e aí a gente continua seguindo até chegar ao 7. A nossa integral definida está preocupada com a área entre a curva e o eixo "x", entre 2 e o 7. Dessa forma, você pode ver essa soma de Riemann. Bem, a gente pode observar aqui rapidamente esta representação gráfica dessa soma de Riemann. Por exemplo, o que podemos dizer quando a gente estiver em 1? Em 1, o primeiro retângulo vai ter uma largura igual a 5/n. Então, isso é essencialmente dizer que estamos pegando a nossa diferença entre 2 e 7, que é 5, e aí dividindo isso em "n" retângulos. Assim, este primeiro retângulo vai ter uma largura de 5/n. E qual vai ser a altura? Bem, é uma soma de Riemann à direita, então, estamos usando o valor da função neste ponto à direita do retângulo. Podemos, então, escrever aqui + 5/n. Este valor bem aqui vai ser, então, o ln(2 + 5/n). E como este é o primeiro retângulo, multiplicamos isso aqui por 1. Agora podemos continuar. Esse retângulo bem aqui tem a mesma largura, ou seja, 5/n. Mas qual é a altura? Bem, a altura vai ser igual ao ln(2 + 5/n vezes 2). Isso porque "i = 2''. Este aqui é "i = 1". Bem, eu espero que você esteja vendo por que isso faz sentido. A área deste primeiro retângulo vai ser o ln(2 + 5/n vezes 1) vezes 5/n. E o segundo aqui vai ser o ln(2 + 5/n vezes 2) vezes 5/n. Sendo assim, isso está calculando a soma das áreas desses retângulos, mas estamos pegando o limite com "n" tendendo ao infinito. Devido a isso, estamos obtendo aproximações cada vez melhores para encontrar o valor da área exata. Bem, eu espero que você tenha compreendido tudo isso que vimos até aqui, e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço, e até a próxima!