Conteúdo principal
Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 6
Lição 4: O teorema fundamental do cálculo e funções de acumulação- O teorema fundamental do cálculo e funções de acumulação
- Funções definidas por integrais definidas (funções de acumulação)
- Funções definidas por integrais definidas (funções de acumulação)
- Exemplo resolvido: cálculo da derivada com o teorema fundamental do cálculo
- Cálculo da derivada com o teorema fundamental do cálculo
- Cálculo da derivada com o teorema fundamental do cálculo: regra da cadeia
- Cálculo da derivada com o teorema fundamental do cálculo: regra da cadeia
© 2023 Khan AcademyTermos de usoPolítica de privacidadeAviso de cookies
Exemplo resolvido: cálculo da derivada com o teorema fundamental do cálculo
Veja como o teorema fundamental do cálculo se parece em ação. Versão original criada por Sal Khan.
Quer participar da conversa?
- Nesse caso o limite inferior da integral é sempre irrelevante?(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA7MP - Aqui nós temos uma função F(x), em que esta função é igual
à integral definida com os limites de integração
vindos de π (PI) a "x" desta função cotangente ao quadrado
de "t" dt. O que nós vamos fazer é calcular
a derivada desta função. E para calcular a derivada desta função,
nós podemos utilizar o teorema fundamental do cálculo.
Por exemplo, se a gente quer calcular a derivada F'(x), vai ser igual à derivada em relação
a "x" desta função, já que F(x) é igual
a esta integral, não é? A derivada de F(x) vai ser a derivada
desta integral. A gente pode até copiar
toda esta expressão e colocar aqui na frente, deste jeito, já que nós queremos derivar tudo isto
em relação a "x". Como eu falei,
embora pareça ser uma coisa difícil, toda vez que a gente quer calcular
a derivada de uma integral, basta utilizar o teorema fundamental
do cálculo, e o teorema fundamental do cálculo diz
que a derivada desta integral vai ser igual à gente pegar
esta funçãozinha aqui de dentro, ou seja, a função F(t), e avaliar no ponto "x". "t" vai ser igual a "x" aqui neste caso. Então, tudo isto,
a derivada desta integral, vai ser igual à cotangente
ao quadrado de "x". Este é o resultado da derivada
desta função. Sempre que você quiser calcular a
derivada de uma integral, basta utilizar o teorema fundamental
do cálculo, é algo bem simples de fazer. Mas vamos complicar um pouco
mais estas ideias. Vamos supor que a gente queira calcular
a integral da mesma função, cotangente ao quadrado de "t" dt, mas agora os limites de integração
vão de π até x², e não "x". Vamos supor novamente que a gente
queira calcular a derivada desta integral, a gente vai calcular a derivada
em relação a "x" desta integral. Você pode pensar que isto
é difícil demais, mas não é. A gente também vai poder utilizar
o teorema fundamental do cálculo. Lembrando que esta integral aqui
não é F(x)? F(x) não é igual à integral de cotangente
ao quadrado de "t" dt, indo de π até "x"? Utilizando o teorema fundamental do cálculo,
nós vamos ter a mesma coisa. Nós vamos ter uma função maiúscula "F",
só que ao invés de "x", vai ser este x². Nós vamos ter F(x²). E o que a gente quer fazer é calcular
a derivada desta função em relação a "x". Como é que a gente consegue calcular
a derivada desta função? Aplicando a regra da cadeia.
A gente vai derivar a função de fora em relação a x² e vai derivar a função de
dentro em relação a "x". Vamos lá! Calculando esta derivada
de fora em relação a x², claro, e vamos multiplicar pela derivada
da função de dentro. A gente vai multiplicar pela derivada
em relação a "x" da função de dentro que é x². Mas qual vai ser a derivada da função
de fora? Eu já não mostrei que a derivada desta função não é igual
à cotangente ao quadrado de "x"? Como F(x) é igual à cotangente
ao quadrado de "t", e aqui a gente ainda tem uma cotangente
ao quadrado de "t", tendo uma única diferença
que no lugar do "x" a gente tem x², aqui a gente vai ter a mesma coisa,
a derivada de F'(x²), conforme a gente calculou, vai ser igual
à cotangente ao quadrado de x². Então, a derivada de "F" vai ser a cotangente ao quadrado de x², isso, vezes a derivada de x²
em relação a "x", que é 2x, utilizando a regra da potência. Isto vai ser igual a 2x vezes a cotangente ao quadrado de x². Note que, por mais complicado que seja, quando a gente quiser calcular
a derivada de uma função, a gente não vai precisar calcular
a antiderivada, avaliar a antiderivada nos dois pontos,
para depois calcular a derivada. Basta utilizar o teorema fundamental
do cálculo e conseguir fazer de uma forma
muito simples, até mesmo quando tiver uma complicação. Lembrando que quando a gente tiver este
limite de integração superior, basta calcular tranquilamente o teorema
fundamental do cálculo, aplicar a regra da cadeia,
caso seja o caso, ou algumas outras regras necessárias
para cálculo de derivada, e no lugar do "x",
que a gente tinha anteriormente, a gente vai colocar o x² ou qualquer
outro valor que a gente tenha. Beleza?