Exemplo resolvido: cálculo da derivada com o teorema fundamental do cálculo

RKA7MP - Aqui nós temos uma função F(x), em que esta função é igual à integral definida com os limites de integração vindos de π (PI) a "x" desta função cotangente ao quadrado de "t" dt. O que nós vamos fazer é calcular a derivada desta função. E para calcular a derivada desta função, nós podemos utilizar o teorema fundamental do cálculo. Por exemplo, se a gente quer calcular a derivada F'(x), vai ser igual à derivada em relação a "x" desta função, já que F(x) é igual a esta integral, não é? A derivada de F(x) vai ser a derivada desta integral. A gente pode até copiar toda esta expressão e colocar aqui na frente, deste jeito, já que nós queremos derivar tudo isto em relação a "x". Como eu falei, embora pareça ser uma coisa difícil, toda vez que a gente quer calcular a derivada de uma integral, basta utilizar o teorema fundamental do cálculo, e o teorema fundamental do cálculo diz que a derivada desta integral vai ser igual à gente pegar esta funçãozinha aqui de dentro, ou seja, a função F(t), e avaliar no ponto "x". "t" vai ser igual a "x" aqui neste caso. Então, tudo isto, a derivada desta integral, vai ser igual à cotangente ao quadrado de "x". Este é o resultado da derivada desta função. Sempre que você quiser calcular a derivada de uma integral, basta utilizar o teorema fundamental do cálculo, é algo bem simples de fazer. Mas vamos complicar um pouco mais estas ideias. Vamos supor que a gente queira calcular a integral da mesma função, cotangente ao quadrado de "t" dt, mas agora os limites de integração vão de π até x², e não "x". Vamos supor novamente que a gente queira calcular a derivada desta integral, a gente vai calcular a derivada em relação a "x" desta integral. Você pode pensar que isto é difícil demais, mas não é. A gente também vai poder utilizar o teorema fundamental do cálculo. Lembrando que esta integral aqui não é F(x)? F(x) não é igual à integral de cotangente ao quadrado de "t" dt, indo de π até "x"? Utilizando o teorema fundamental do cálculo, nós vamos ter a mesma coisa. Nós vamos ter uma função maiúscula "F", só que ao invés de "x", vai ser este x². Nós vamos ter F(x²). E o que a gente quer fazer é calcular a derivada desta função em relação a "x". Como é que a gente consegue calcular a derivada desta função? Aplicando a regra da cadeia. A gente vai derivar a função de fora em relação a x² e vai derivar a função de dentro em relação a "x". Vamos lá! Calculando esta derivada de fora em relação a x², claro, e vamos multiplicar pela derivada da função de dentro. A gente vai multiplicar pela derivada em relação a "x" da função de dentro que é x². Mas qual vai ser a derivada da função de fora? Eu já não mostrei que a derivada desta função não é igual à cotangente ao quadrado de "x"? Como F(x) é igual à cotangente ao quadrado de "t", e aqui a gente ainda tem uma cotangente ao quadrado de "t", tendo uma única diferença que no lugar do "x" a gente tem x², aqui a gente vai ter a mesma coisa, a derivada de F'(x²), conforme a gente calculou, vai ser igual à cotangente ao quadrado de x². Então, a derivada de "F" vai ser a cotangente ao quadrado de x², isso, vezes a derivada de x² em relação a "x", que é 2x, utilizando a regra da potência. Isto vai ser igual a 2x vezes a cotangente ao quadrado de x². Note que, por mais complicado que seja, quando a gente quiser calcular a derivada de uma função, a gente não vai precisar calcular a antiderivada, avaliar a antiderivada nos dois pontos, para depois calcular a derivada. Basta utilizar o teorema fundamental do cálculo e conseguir fazer de uma forma muito simples, até mesmo quando tiver uma complicação. Lembrando que quando a gente tiver este limite de integração superior, basta calcular tranquilamente o teorema fundamental do cálculo, aplicar a regra da cadeia, caso seja o caso, ou algumas outras regras necessárias para cálculo de derivada, e no lugar do "x", que a gente tinha anteriormente, a gente vai colocar o x² ou qualquer outro valor que a gente tenha. Beleza?