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Transcrição de vídeo

vamos dizer que a gente tenha uma função que seja contínuo em um certo intervalo então vamos dizer q f é contínua e o intervalo que vai de a até vamos dizer então que essa função tenha esse formato aqui esse gráfico então aqui nós temos o eixo y é o eixo t já que essa função que tem esse formato aqui é uma função de ter como essa função é contínua em um certo intervalo aqui nós vamos ter o primeiro extremo dessa função que é no ponto a e aqui nós vamos ter o outro extremo dessa função que é no ponto b então essa função como eu disse é uma função y sendo igual à efe dt e que ela é contínua nesses dois extremos aqui no dia a até b vamos dizer agora que a gente defina uma outra função e que essa função determine pra gente a área abaixo da curva nesse intervalo que vai de a até 1 ponto x qualquer como nós sabemos a área baixo de uma curva é determinada através da integral de kimi é certo então pra gente determinar a área baixo dessa curva que basta a gente calculará integral em do dia' até o nosso ponto x ou seja se trata de uma integral definida com dois limites de integração da nossa função efe dt de t então essa integral definida vai nos indicar abaixo dessa curva nesse intervalo diatta x claro não podemos esquecer que o x tem que estar dentro desse intervalo di até bem então a gente coloca aqui onde x está no intervalo que vai de a a b e tão x não pode estar fora deste intervalo aqui então a gente vai dizer que essa integral aqui é uma função de x então nós podemos colocar aqui um f maiúsculo que é uma função de x sendo igual a integral definida e dude ata x df de tdt lembre se que isso daqui um f maiúsculo isso daqui é um f minúsculo ok então nós já definimos a nossa função efe maiúsculo dx vai ser igual a integral definido ainda o diário xin efe dt tem agora uma coisa interessante que a gente pode fazer com essa função vamos supor que a gente queira derivar essa função em relação à x o que a gente vai encontrar como resultado bem existe um teorema que fala a respeito disso este teorema chamado de teorema fundamental do cálculo bem o teorema fundamental do cálculo diz que se a gente deriva é essa função então a gente vai pegar aqui vai derivar essa função f maiúsculo de x em relação à x a gente vai está derivando essa integral aqui em relação à x então isso vai ser igual a derivada em relação à x da integral definida entre a e x de efe dt de t então se a gente dele vai relação à x da integral definida dessa função a gente vai encontrar como resposta à própria função efe minúsculo aqui só há que ao invés de 100 em relação até vais em relação a esse xis então é isso aqui que o teorema fundamental do cálculo disse pra gente que se a gente tenha a integral de uma função é integral definida indo de um ponto pré determinado até o outro ponto x qualquer ea gente tiver integrando isso em relação ao te ajeito e vai encontrar a própria função efe dt só aqui em relação a esse ponto x isso aqui é uma coisa muito interessante porque isso mostra pra gente que toda a função continua em um certo intervalo possui uma anti derivada então a gente pode até escrever isso aqui também toda a função contínua possui uma anti derivada fdx olha só a gente tem essa função aqui de y igual à efe dt essa função possui uma antiga elevada que é esse fdx já que fdx é igual a integral df de tdt isso a gente de levar essa ante derivada afinal de contas é por isso que ela é uma anti derivada a gente vai encontrar essa função então por isso que nós podemos dizer que toda a função que a contínua em um certo intervalo possui uma anti derivada fdx além disso este teorema fundamental do cálculo também faz uma outra coisa muito importante pra gente relaciona o cálculo diferencial com o cálculo integral e isso faz toda a diferença na resolução de diversos problemas então vamos escrever isso aqui também o teorema fundamental do cálculo faz uma conexão ou seja relaciona o cálculo diferencial ou seja as derivadas qual cálculo integral ou seja com a integral então todas as vezes que a gente tiver uma função em que o y é igual ao efe dt a integral definida dessa função vai representar pra gente a área baixo da curva vindo de um ponto inicial até o ponto x qualquer e isso vai representar a amt derivada dessa função só que em relação a esse ponto x caso o agente dele e vi essa noite derivada a gente vai encontrar a própria função só que em relação a esse ponto x tudo bem isso tudo é muito interessante mas como é que a gente poderia utilizar o teorema fundamental do cálculo para resolver diversos problemas que a gente pode encontrar vamos supor que a gente tenha uma determinada função que seja igual ao cosseno ao quadrado de ter sobre o logaritmo natural de t - a raiz quadrada de t e que a gente queira calculará integral dessa função e não de um ponto e até um ponto x qualquer isso em relação à atenas já que afinal de contas a nossa função em relação à tenta a gente coloca o dt aqui e que depois de calcular essa integral a gente queira calcular a derivada dessa integral só que em relação à x o teorema fundamental do cálculo diz pra gente o que se a gente quiser calcular derivada da integral de uma função e isso aqui vai ser igual a essa própria função só que em relação à x então a gente vai pegar toda essa função aqui e substituir o tpu x então vai ser coocenal quadrado de x sobre o logaritmo natural de x - a raiz quadrada de x se você observar o teorema fundamental do cálculo a gente nem precisa se preocupar com esse primeiro ponto com esse primeiro ponto é que nesse intervalo basta se preocupar apenas o segundo ponto que nesse caso é o próprio x então se a gente quer calcular derivada de uma integral definida vindo de um ponto até o ponto x de uma certa função em relação até basta calcular essa mesma função em relação à x então isso aqui corresponde ao nosso efe dt a nossa função f1 minúsculo dt e isso aqui corresponde a nossa função é firme no círculo só que em relação à x e aí quando eu disse quando a gente estiver utilizando o teorema fundamental do cálculo basta fazer isso pegar essa função fdte substituir todos os textos por esse xis assim a gente nem precisa se preocupar com esse ponto aqui nos próximos vídeos a gente vai ver mais alguns exemplos do teorema fundamental do cálculo e como é que a gente pode utilizar essa idéia para resolver diversos problemas além disso eu também vou te mostrar um vídeo de como o que a gente pode utilizar nossa intuição para resolver esses problemas e também como que a gente pode provar ou demonstrar o teorema fundamental do cálculo
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