Interpretação do comportamento de funções de acumulação (artigo)

Em cálculo diferencial, nós deduzimos as propriedades da função

f

com base nas informações dadas sobre sua derivada

f^{'}

. Em cálculo integral, em vez de falarmos de funções e suas derivadas, falaremos sobre funções e suas primitivas.

Dedução das propriedades de $g$ ‍ a partir do gráfico de $g^{'} = f$ ‍

Este é gráfico da função

f

Seja

g (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

. Definida assim,

g

é uma primitiva de

f

. Em cálculo diferencial nós devemos escrever isso como

g^{'} = f

. Como

f

é a derivada de

g

, nós podemos deduzir as propriedades de

g

da mesma maneira que fizemos no cálculo diferencial.

Por exemplo,

f

é positiva no intervalo

[0, 10]

, então

g

deve ser crescente nesse intervalo.

Além disso,

f

muda de sinal em

x = 10

, então

g

deve ter um ponto de extremo ali. Como

f

vai de positiva para negativa, esse ponto tem que ser um ponto máximo.

Os exemplos acima nos mostram como nós podemos pensar sobre intervalos nos quais

g

é crescente ou decrescente e sobre seus extremos relativos. Nós também podemos pensar sobre a concavidade de

g

. Uma vez que

f

é crescente no intervalo

[- 2, 5]

, sabemos que

g

é côncava para cima nesse intervalo. E como

f

é decrescente no intervalo

[5, 13]

, sabemos que

g

é côncava para baixo nesse intervalo.

g

muda de concavidade em

x = 5

, e portanto, tem uma inflexão nesse ponto.

Problema 1

Este é o gráfico de

f

Seja

g (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

Qual é uma justificativa com base em cálculo apropriada para o fato de $g$ ‍ ser côncava para cima no intervalo $(5, 10)$ ‍?

Problema 2

Este é o gráfico de

f

Seja

g (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

Qual é uma justificativa com base em cálculo apropriada para o fato de que $g$ ‍ tem um mínimo relativo em $x = 8$ ‍?

(Escolha A)
$f (8) = 0$ ‍
(Escolha B)
$f$ ‍ é côncava para cima no intervalo em torno de $x = 6$ ‍.
(Escolha C)
$f$ ‍ é negativa antes de $x = 8$ ‍ e positiva depois de $x = 8$ ‍.
(Escolha D)
Existe um intervalo no gráfico de $g$ ‍ em torno de $x = 8$ ‍ no qual $g (8)$ ‍ é o menor valor.

Quer praticar mais? Tente este exercício.

É importante não confundir quais propriedades da função estão relacionadas a quais propriedades da sua primitiva. Muitos estudantes se confundem e fazem todo o tipo de inferências erradas, como dizer que uma primitiva é positiva porque a função é crescente (quando na verdade, é o contrário).

Essa tabela resume todas as relações entre as propriedades de uma função e sua primitiva.

Quando a funcão $f$ ‍ é...	A primitiva $g = \int_{a}^{x} f (t) d t$ ‍ é...
Positiva $+$ ‍	Crescente $↗$ ‍
Negativa $-$ ‍	Decrescente $↘$ ‍
Crescente $↗$ ‍	Côncava para cima $\cup$ ‍
Decrescente $↘$ ‍	Côncave para baixo $\cap$ ‍
Muda de sinal / cruza o eixo $x$ ‍	Ponto de extremo
Ponto de extremo	Ponto de inflexão

Desafio

Este é o gráfico de

f

Seja

g (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

Qual é uma justificativa com base em cálculo apropriada para o fato de que $g$ ‍ é positiva no intervalo $[7, 12]$ ‍?

(Escolha A)
Para qualquer valor de $x$ ‍ no intervalo $[7, 12]$ ‍, o valor de $f (x)$ ‍ é zero.
(Escolha B)
Para qualquer valor de $x$ ‍ no intervalo $[7, 12]$ ‍, o valor de $g (x)$ ‍ é positivo.
(Escolha C)
$f$ ‍ é positivo em $[0, 7]$ ‍ e não negativo em $[7, 12]$ ‍.
(Escolha D)
$f$ ‍ não é côncava para cima nem côncava para baixo no intervalo $[7, 12]$ ‍.

Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 6

Interpretação do comportamento de funções de acumulação

Dedução das propriedades de $g$ ‍ a partir do gráfico de $g^{'} = f$ ‍

Quer participar da conversa?

Cálculo Avançado AB

Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 6

Dedução das propriedades de g‍ a partir do gráfico de g′=f‍

Quer participar da conversa?

Dedução das propriedades de $g$ ‍ a partir do gráfico de $g^{'} = f$ ‍