Interpretação do comportamento de funções de acumulação

Em cálculo diferencial, nós deduzimos as propriedades da função $f$f com base nas informações dadas sobre sua derivada $f'$f, prime. Em cálculo integral, em vez de falarmos de funções e suas derivadas, falaremos sobre funções e suas primitivas.

Este é gráfico da função $f$f.

Seja $g(x)=\displaystyle\int_0^x f(t)\,dt$g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t. Definida assim, $g$g é uma primitiva de $f$f. Em cálculo diferencial nós devemos escrever isso como $g'=f$g, prime, equals, f. Como $f$f é a derivada de $g$g, nós podemos deduzir as propriedades de $g$g da mesma maneira que fizemos no cálculo diferencial.

Por exemplo, $f$f é positiva no intervalo $[0,10]$open bracket, 0, comma, 10, close bracket, então $g$g deve ser crescente nesse intervalo.

Além disso, $f$f muda de sinal em $x=10$x, equals, 10, então $g$g deve ter um ponto de extremo ali. Como $f$f vai de positiva para negativa, esse ponto tem que ser um ponto máximo.

Os exemplos acima nos mostram como nós podemos pensar sobre intervalos nos quais $g$g é crescente ou decrescente e sobre seus extremos relativos. Nós também podemos pensar sobre a concavidade de $g$g. Uma vez que $f$f é crescente no intervalo $[-2,5]$open bracket, minus, 2, comma, 5, close bracket, sabemos que $g$g é côncava para cima nesse intervalo. E como $f$f é decrescente no intervalo $[5,13]$open bracket, 5, comma, 13, close bracket, sabemos que $g$g é côncava para baixo nesse intervalo. $g$g muda de concavidade em $x=5$x, equals, 5, e portanto, tem uma inflexão nesse ponto.

É importante não confundir quais propriedades da função estão relacionadas a quais propriedades da sua primitiva. Muitos estudantes se confundem e fazem todo o tipo de inferências erradas, como dizer que uma primitiva é positiva porque a função é crescente (quando na verdade, é o contrário).

Essa tabela resume todas as relações entre as propriedades de uma função e sua primitiva.