Interpretação do comportamento de funções de acumulação

Em cálculo diferencial, nós deduzimos as propriedades da função $f$‍ com base nas informações dadas sobre sua derivada $f^{\prime }$‍. Em cálculo integral, em vez de falarmos de funções e suas derivadas, falaremos sobre funções e suas primitivas.

Este é gráfico da função $f$‍.

Seja $g(x)={\displaystyle {\int }_0^{x}f(t)dt}$‍. Definida assim, $g$‍ é uma primitiva de $f$‍. Em cálculo diferencial nós devemos escrever isso como $g^{\prime }=f$‍. Como $f$‍ é a derivada de $g$‍, nós podemos deduzir as propriedades de $g$‍ da mesma maneira que fizemos no cálculo diferencial.

Por exemplo, $f$‍ é positiva no intervalo $[0,10]$‍, então $g$‍ deve ser crescente nesse intervalo.

Além disso, $f$‍ muda de sinal em $x=10$‍, então $g$‍ deve ter um ponto de extremo ali. Como $f$‍ vai de positiva para negativa, esse ponto tem que ser um ponto máximo.

Os exemplos acima nos mostram como nós podemos pensar sobre intervalos nos quais $g$‍ é crescente ou decrescente e sobre seus extremos relativos. Nós também podemos pensar sobre a concavidade de $g$‍. Uma vez que $f$‍ é crescente no intervalo $[-2,5]$‍, sabemos que $g$‍ é côncava para cima nesse intervalo. E como $f$‍ é decrescente no intervalo $[5,13]$‍, sabemos que $g$‍ é côncava para baixo nesse intervalo. $g$‍ muda de concavidade em $x=5$‍, e portanto, tem uma inflexão nesse ponto.

É importante não confundir quais propriedades da função estão relacionadas a quais propriedades da sua primitiva. Muitos estudantes se confundem e fazem todo o tipo de inferências erradas, como dizer que uma primitiva é positiva porque a função é crescente (quando na verdade, é o contrário).

Essa tabela resume todas as relações entre as propriedades de uma função e sua primitiva.