Interpretação do comportamento de funções de acumulação

RKA3JV - Olá, meu amigo ou minha amiga, tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos resolver alguns exemplos sobre o comportamento das funções de acumulação. Este primeiro exemplo diz o seguinte: seja g(x) igual à integral definida de zero a "x" de f(t) dt. Qual é uma justificativa com base em cálculo apropriada para o fato de "g" ser côncava para cima no intervalo (5, 10)? Antes de pensar na questão, vamos pensar no que significa ser côncava. Vamos estabelecer aqui uma relação entre "g" e "f". E uma forma de fazer isso é a gente pegar a derivada de ambos os lados desta equação. Assim, a gente teria aqui g'(x) e isto sendo igual a f(x). A derivada disso em relação a "x" é apenas f(x). Na verdade, a razão pela qual introduzimos essa variável aqui é que isso bem aqui é, na verdade, uma função de "x", porque "x" é o limite superior. Seria muito estranho a gente ter "x" como limite superior ou, pelo menos, confuso, e estaria integrando em relação a "x". Então, sempre que tiver algo assim é só escolher outra variável, não precisa ser o "t", pode ser alfa, pode ser gama, pode ser "a", "b" ou "c", ou seja lá o que quiser escolher. Mesmo assim, isso vai continuar sendo uma função de "x". Aí, quando a gente deriva em ambos os lados, a gente obtém a função "f" que está representada aqui. Se isso fosse o eixo "x", então isso seria f(x), se esse for o eixo "t", então isto aqui vai ser y = f(t). Mas, geralmente, este é o gráfico da nossa função "f" que você também pode ver como o gráfico de g'. Então, se for "x", vai ser g'(x). Aqui estamos pensando sobre o intervalo aberto de (5, 10) e temos a derivada de "g" representada graficamente aqui. O que nós queremos é encontrar uma justificativa baseada em cálculo a partir deste gráfico que nos permita saber que "g" é côncava para cima. Mas o que significa ser côncava para cima? Bem, isso significa que a inclinação da reta tangente está aumentando. Ou outra maneira de pensar sobre isso é que a derivada está aumentando, ou ainda, outra forma de pensar sobre isso, é que se a derivada está aumentando em um intervalo, então a função é côncava para cima neste intervalo. Aqui temos um gráfico da derivada, e está realmente aumentando durante este intervalo. Portanto, a nossa justificativa baseada em cálculo que gostaríamos de usar é que, olhe, "f" que é g', está aumentando neste intervalo. Como a derivada está aumentando neste intervalo, isso significa que a função original é côncava para cima, "f" é positiva neste intervalo. Isso não é suficiente, afinal não é uma justificativa baseada em cálculo. Porque se sua derivada for positiva, isso significa apenas que a função original está aumentando. Isso não nos diz que a função original é côncava para cima. "f" é côncava para cima no intervalo? Bem, só porque a derivada é côncava para cima, não significa que a função original é côncava para cima. Na verdade, você poderia ter uma situação como esta, onde "f" é côncava acima deste intervalo, mas temos ao longo deste intervalo aqui o gráfico de "f" ou g'(x) diminuindo. E se g' está diminuindo durante parte deste intervalo, nesta parte, nossa função original vai ser côncava para baixo. O gráfico de "g" tem uma forma de taça "u" no intervalo. Bem, se tivéssemos o gráfico de "g", isso seria uma justificativa, mas não seria uma justificativa baseada em cálculo. Bem, vamos fazer mais um exemplo? Neste próximo exemplo, temos a mesma configuração. Na verdade, os três exemplos deste vídeo começam assim. Seja g(x) igual à integral definida de zero a "x" de f(t) dt. Mas aqui agora está sendo perguntado o seguinte. Qual é uma justificativa baseada em cálculo apropriada para o fato de "g" ter um mínimo relativo em "x" igual a 8? Mais uma vez, foi fornecido um gráfico de "f" aqui, que é a mesma coisa que a derivada de "g". Tendo o gráfico da derivada, como sabemos que nós temos um mínimo relativo em x = 8? Bem, o fato de que cruzamos o eixo "x" em que "y" é igual a zero, diz para a gente que a derivada é igual a zero em x = 8. Isso também nos diz que a inclinação da reta tangente de "g" neste ponto é zero, mas só isso não nos diz que temos um ponto mínimo relativo. Para ter um ponto mínimo relativo, a nossa derivada tem que cruzar de negativa para positiva. Mas por que isso é importante? Porque, pense, se a sua derivada vai de negativa para positiva, isso significa que sua função original vai de diminuindo para aumentando, vai diminuindo e depois começa a aumentar. Aí, sim, você teria um ponto mínimo relativo. E a escolha que descreve isso quase chega lá. Mas só isso não é suficiente para um ponto mínimo relativo. Agora, observe aqui que "f" é negativa antes de x = 8 e positiva depois de x = 8. E isso é exatamente o que acabamos de descrever. Vamos ver sobre isso. Olha esta opção aqui, "f" é côncava para cima no intervalo em torno de x = 6. Bem, x = 6 é um pouco não relacionado a isso. Existe um intervalo no gráfico de "g" em torno de x = 8, no qual g(8) é o menor valor? Bem, isso é uma justificativa para um mínimo relativo, mas não é baseada em cálculo. Então, sem dúvida, a resposta correta é a terceira opção. Vamos fazer mais um exemplo? A mesma configuração, mesmo que o gráfico seja um pouco diferente agora. A gente sempre vai ver coisas assim com o gráfico. Qual é uma justificativa com base em cálculo apropriada para o fato de que "g" é positiva no intervalo fechado de (7, 12)? Vamos marcar isso aqui. Positiva no intervalo fechado de (7, 12). Bem, isso é interessante, então vamos pensar um pouco mais a fundo sobre o que significa essa integral definida de zero a "x", se pensarmos sobre o que acontece quando x = 7. Outra maneira de pensar sobre isso é dizer que g(7) vai ser igual à integral de zero a 7 de f(t) dt. Se este fosse um eixo "t", mais uma vez, é apenas um tipo de variável de espaço reservado para nos ajudar a manter este "x" aqui. Mas se estamos com essa integral, estamos realmente falando sobre essa área bem aqui. E pelo fato de ser de zero a 7, esta função está acima do eixo "x", então essa área será positiva. Esta é uma área positiva. Aí, à medida que vamos de 7 a 12, não estamos adicionando mais área, mas também não estamos tirando nada. Então, na verdade, g(7) até g(12) vai ter o mesmo valor positivo, porque não estamos agregando mais valor. E quando eu digo g(12), g(12) vai ser, realmente, igual a g(7). Porque, mais uma vez, não temos área adicionada aqui, nem positiva e nem negativa. Então, vamos ver quais dessas opções correspondem. Para qualquer valor de "x" no intervalo de (7, 12), o valor de f(x) é zero? Isto é verdade, mas isso não significa que são positivos. Por exemplo, antes deste intervalo, se a nossa função fizesse algo assim, então teríamos tido resultados negativos da área até aquele ponto. Aí, então, estes seriam valores negativos. Por isso, eu descarto isto aqui. Para qualquer valor de "x" no intervalo fechado de (7, 12), o valor de g(x) é positivo? Isto é verdade. Então, eu gosto desta opção. Vamos ver as outras opções aqui? "f" é positiva no intervalo de zero a 7 e não é negativa de 7 a 12. E eu gosto desta opção também. Na verdade, eu vou descartar esta primeira alternativa, porque não tem nada a ver com a derivada. Então, não é uma justificativa baseada em cálculo. Esta é a justificativa exata do que eu estou falando. "f" é positiva de zero a 7, então desenvolve toda essa área positiva, e não é negativa no intervalo. Aí, vamos ficar positiva para todo o "g", independente do valor de "x" que escolhemos aqui neste intervalo. Então, eu gosto desta alternativa aqui. "f" não é côncava para cima e nem côncava para baixo no intervalo fechado de (7, 12). Não, isso realmente não nos ajuda a dizer que "g" é positiva neste intervalo. Então, sem dúvida, a resposta correta é a letra "C". É isso aí, meu amigo ou minha amiga, eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que conversamos aqui. E, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!