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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 6
Lição 5: Como interpretar o comportamento de funções de acumulação envolvendo áreaInterpretação do comportamento de funções de acumulação
Quando temos o gráfico da função ƒ, podemos raciocinar sobre o gráfico de sua primitiva 𝑔 (tal que 𝑔'=ƒ).
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - Olá, meu amigo ou minha amiga,
tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda
a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos
resolver alguns exemplos sobre o comportamento
das funções de acumulação. Este primeiro exemplo
diz o seguinte: seja g(x) igual à integral definida
de zero a "x" de f(t) dt. Qual é uma justificativa com
base em cálculo apropriada para o fato de "g" ser côncava
para cima no intervalo (5, 10)? Antes de pensar na questão, vamos
pensar no que significa ser côncava. Vamos estabelecer aqui
uma relação entre "g" e "f". E uma forma de fazer
isso é a gente pegar a derivada de ambos
os lados desta equação. Assim, a gente teria aqui g'(x)
e isto sendo igual a f(x). A derivada disso em relação
a "x" é apenas f(x). Na verdade, a razão pela qual
introduzimos essa variável aqui é que isso bem aqui é,
na verdade, uma função de "x", porque "x"
é o limite superior. Seria muito estranho a gente
ter "x" como limite superior ou, pelo menos,
confuso, e estaria integrando
em relação a "x". Então, sempre que tiver algo assim
é só escolher outra variável, não precisa ser o "t", pode ser alfa,
pode ser gama, pode ser "a", "b" ou "c", ou seja lá o que
quiser escolher. Mesmo assim, isso vai continuar
sendo uma função de "x". Aí, quando a gente deriva
em ambos os lados, a gente obtém a função "f"
que está representada aqui. Se isso fosse o eixo "x",
então isso seria f(x), se esse for o eixo "t",
então isto aqui vai ser y = f(t). Mas, geralmente, este é
o gráfico da nossa função "f" que você também pode ver
como o gráfico de g'. Então, se for "x",
vai ser g'(x). Aqui estamos pensando sobre
o intervalo aberto de (5, 10) e temos a derivada de "g"
representada graficamente aqui. O que nós queremos é encontrar uma
justificativa baseada em cálculo a partir deste gráfico que nos permita
saber que "g" é côncava para cima. Mas o que significa
ser côncava para cima? Bem, isso significa que a inclinação
da reta tangente está aumentando. Ou outra maneira de pensar sobre isso
é que a derivada está aumentando, ou ainda, outra forma
de pensar sobre isso, é que se a derivada está
aumentando em um intervalo, então a função é côncava
para cima neste intervalo. Aqui temos um
gráfico da derivada, e está realmente aumentando
durante este intervalo. Portanto, a nossa justificativa
baseada em cálculo que gostaríamos de usar
é que, olhe, "f" que é g', está aumentando
neste intervalo. Como a derivada está
aumentando neste intervalo, isso significa que a função
original é côncava para cima, "f" é positiva
neste intervalo. Isso não é suficiente, afinal não é uma
justificativa baseada em cálculo. Porque se sua
derivada for positiva, isso significa apenas que
a função original está aumentando. Isso não nos diz que a função
original é côncava para cima. "f" é côncava para
cima no intervalo? Bem, só porque a derivada
é côncava para cima, não significa que a função
original é côncava para cima. Na verdade, você poderia ter
uma situação como esta, onde "f" é côncava
acima deste intervalo, mas temos ao longo
deste intervalo aqui o gráfico de "f"
ou g'(x) diminuindo. E se g' está diminuindo durante
parte deste intervalo, nesta parte, nossa função
original vai ser côncava para baixo. O gráfico de "g" tem uma
forma de taça "u" no intervalo. Bem, se tivéssemos o gráfico de "g",
isso seria uma justificativa, mas não seria uma justificativa
baseada em cálculo. Bem, vamos fazer
mais um exemplo? Neste próximo exemplo,
temos a mesma configuração. Na verdade, os três exemplos
deste vídeo começam assim. Seja g(x) igual à integral definida
de zero a "x" de f(t) dt. Mas aqui agora está sendo
perguntado o seguinte. Qual é uma justificativa baseada em
cálculo apropriada para o fato de "g" ter um mínimo relativo
em "x" igual a 8? Mais uma vez, foi fornecido
um gráfico de "f" aqui, que é a mesma coisa
que a derivada de "g". Tendo o gráfico
da derivada, como sabemos que nós temos
um mínimo relativo em x = 8? Bem, o fato de que cruzamos
o eixo "x" em que "y" é igual a zero, diz para a gente que a derivada
é igual a zero em x = 8. Isso também nos diz que a inclinação da
reta tangente de "g" neste ponto é zero, mas só isso não nos diz que
temos um ponto mínimo relativo. Para ter um ponto mínimo
relativo, a nossa derivada tem que cruzar de
negativa para positiva. Mas por que isso
é importante? Porque, pense, se a sua derivada
vai de negativa para positiva, isso significa que sua função original
vai de diminuindo para aumentando, vai diminuindo e depois
começa a aumentar. Aí, sim, você teria um
ponto mínimo relativo. E a escolha que descreve
isso quase chega lá. Mas só isso não é suficiente
para um ponto mínimo relativo. Agora, observe aqui que
"f" é negativa antes de x = 8 e positiva
depois de x = 8. E isso é exatamente o que
acabamos de descrever. Vamos ver
sobre isso. Olha esta opção aqui, "f" é côncava
para cima no intervalo em torno de x = 6. Bem, x = 6 é um pouco
não relacionado a isso. Existe um intervalo no gráfico
de "g" em torno de x = 8, no qual g(8)
é o menor valor? Bem, isso é uma justificativa
para um mínimo relativo, mas não é
baseada em cálculo. Então, sem dúvida, a resposta
correta é a terceira opção. Vamos fazer
mais um exemplo? A mesma configuração, mesmo que
o gráfico seja um pouco diferente agora. A gente sempre vai ver
coisas assim com o gráfico. Qual é uma justificativa
com base em cálculo apropriada para o fato
de que "g" é positiva no intervalo
fechado de (7, 12)? Vamos marcar
isso aqui. Positiva no intervalo
fechado de (7, 12). Bem, isso é interessante, então vamos
pensar um pouco mais a fundo sobre o que significa essa
integral definida de zero a "x", se pensarmos sobre
o que acontece quando x = 7. Outra maneira de pensar
sobre isso é dizer que g(7) vai ser igual à integral
de zero a 7 de f(t) dt. Se este fosse
um eixo "t", mais uma vez, é apenas um tipo
de variável de espaço reservado para nos ajudar
a manter este "x" aqui. Mas se estamos
com essa integral, estamos realmente falando
sobre essa área bem aqui. E pelo fato de
ser de zero a 7, esta função está acima do eixo "x",
então essa área será positiva. Esta é uma
área positiva. Aí, à medida que vamos de 7 a 12,
não estamos adicionando mais área, mas também não
estamos tirando nada. Então, na verdade,
g(7) até g(12) vai ter o mesmo
valor positivo, porque não estamos
agregando mais valor. E quando eu digo g(12),
g(12) vai ser, realmente, igual a g(7). Porque, mais uma vez,
não temos área adicionada aqui, nem positiva
e nem negativa. Então, vamos ver quais
dessas opções correspondem. Para qualquer valor de "x"
no intervalo de (7, 12), o valor de f(x)
é zero? Isto é verdade, mas isso não significa
que são positivos. Por exemplo,
antes deste intervalo, se a nossa função
fizesse algo assim, então teríamos tido resultados
negativos da área até aquele ponto. Aí, então, estes seriam
valores negativos. Por isso, eu
descarto isto aqui. Para qualquer
valor de "x" no intervalo fechado de (7, 12),
o valor de g(x) é positivo? Isto é verdade. Então, eu gosto
desta opção. Vamos ver as outras
opções aqui? "f" é positiva no
intervalo de zero a 7 e não é negativa
de 7 a 12. E eu gosto desta
opção também. Na verdade, eu vou descartar
esta primeira alternativa, porque não tem nada
a ver com a derivada. Então, não é uma justificativa
baseada em cálculo. Esta é a justificativa exata
do que eu estou falando. "f" é positiva
de zero a 7, então desenvolve toda essa área positiva,
e não é negativa no intervalo. Aí, vamos ficar positiva
para todo o "g", independente do valor de "x"
que escolhemos aqui neste intervalo. Então, eu gosto
desta alternativa aqui. "f" não é côncava
para cima e nem côncava para baixo
no intervalo fechado de (7, 12). Não, isso realmente
não nos ajuda a dizer que "g" é positiva
neste intervalo. Então, sem dúvida, a resposta
correta é a letra "C". É isso aí, meu amigo
ou minha amiga, eu espero que você tenha compreendido
tudo direitinho o que conversamos aqui. E, mais uma vez, eu quero
deixar para você um grande abraço
e até a próxima!