Encontrando integrais definidas usando fórmulas de área

RKA8JV - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos resolver um exemplo sobre como encontrar o valor de uma integral utilizando as áreas de algumas figuras geométricas. A gente recebeu o gráfico de uma função "f", e precisamos encontrar algumas integrais aqui para esta função. Neste primeiro caso, vamos calcular a integral definida de -6 a -2 de f(x)dx. Isso é igual a quê? Pause este vídeo e veja se você consegue descobrir isso a partir deste gráfico. Ok, vamos fazer isso aqui juntos agora. Estamos indo aqui de "x = -6" até "x = -2'', e a integral definida vai ser a área abaixo da curva aqui em nosso gráfico e acima do eixo "x", então, vai ser esta área bem aqui. E como descobrimos o valor desta área? Bem, isso é um semicírculo, e sabemos como encontrar a área de um círculo se soubermos o seu raio. Este círculo tem um raio igual a 2, e não importa a direção, saindo do centro, a gente sempre tem um raio igual. A área de um círculo é πr². Assim, a área deste círculo será π vezes o nosso raio, que é 2, ao quadrado. Mas como aqui temos um semicírculo, eu vou dividir isso aqui por 2, ou seja, é a metade da área de um círculo completo. Então, esta integral definida é igual a 4π/2, que é igual a 2π. Tudo bem, vamos para o outro caso agora. Aqui temos a integral definida de -2 a 1 de f(x)dx. Pause o vídeo e veja se você consegue descobrir isso. Vamos fazer juntos agora? Vamos de -2 até 1. Observe que a gente precisa ter um pouco de cuidado aqui para calcular essa integral definida, porque, conforme você pode ver, aqui no primeiro caso, a área estava abaixo da função e acima do eixo "x", mas aqui, a área está abaixo do eixo "x" e acima da curva da função. Então, o que podemos fazer é descobrir o valor desta área. A gente pode fazer isso apenas com o que sabemos de geometria. Aí, precisamos ter em mente que quando temos um caso como este, em que a área está abaixo do eixo "x", a nossa integral definida vai ser negativa. Enfim, qual é o valor desta área aqui? Bem, existem algumas maneiras diferentes de pensar sobre esta área. A gente pode fazer isso seguindo alguns caminhos. A gente pode ver esta figura como um trapézio ou podemos simplesmente dividi-la em um retângulo e dois triângulos. Fazendo desse jeito, a gente tem um triângulo que tem uma área igual a 1 vezes 2 vezes 0,5. Assim, este triângulo aqui vai ter uma área igual a 1. Já este retângulo aqui, tem uma área igual a 2 vezes 1, portanto, tem uma área igual a 2. E aí, teremos este outro triângulo aqui que tem a mesma área do primeiro, tem uma base igual a 1 e uma altura igual a 2. Então teremos uma área igual a 1 vezes 2 vezes 0,5. Lembre-se, a área de um triângulo é 0,5 vezes a altura vezes a base. Sabendo disso, a área deste triângulo é igual a 1. Aí, se você somar essas áreas, teremos 1 + 2 + 1, que é 4. Agora, você pode ser tentado a dizer: "ah, isso aqui vai ser igual a 4!" Mas lembre-se, a nossa função aqui está abaixo do eixo "x'', então, isso aqui precisa ser igual a -4. Vamos fazer outro caso aqui agora. Aqui, a gente vai partir de 1 e vai até 4 de f(x)dx. Então pause este vídeo e veja se você consegue descobrir isso. Aqui neste caso, nós vamos daqui até aqui, assim, vamos calcular esta área bem aqui. E como descobrimos isso? Bem, basta utilizar a fórmula para calcular a área de um triângulo, ou seja, a base vezes a altura vezes 0,5, ou simplesmente, 0,5 vezes a base vezes a altura. Ou, você pode calcular 0,5 vezes a base, que tem um comprimento igual a 3, já que vai ter 1 até 4, então temos 0,5 vezes 3 vezes a nossa altura, que é 1, 2, 3, 4, então é vezes 4. Aí, o resultado desta integral é igual a 6. Por último, mas não menos importante, a gente tem uma integral aqui indo de 4 até 6 f(x)dx. Então, isso vai ser igual a esta área bem aqui. Mas temos que ter cuidado, nossa função está abaixo do eixo "x", então, vamos descobrir esta área, mas a integral, vai ser negativa. Este semicírculo tem um raio igual a 1. Não se esqueça que a área de um círculo é πr², então, temos aqui π vezes 1², só que você não pode se esquecer que esta seria a área se a gente realizasse toda a volta, deste jeito aqui. Mas aqui temos apenas metade do círculo, então, dividimos isso por 2. E como esta área está acima da função e abaixo do eixo "x", a função é negativa, logo, isso vai ser igual a -π/2. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que a gente viu aqui, e mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço, e até a próxima!