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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 6
Lição 6: Aplicação das propriedades das integrais definidas- Integrais definidas negativas
- Encontrando integrais definidas usando fórmulas de área
- Encontrando integrais definidas usando fórmulas de área
- Integral definida sobre um único ponto
- Integração de uma versão em escala da função
- Inversão de limites da integral definida
- Integração de somas de funções
- Exemplos resolvidos: cálculo de integrais definidas usando propriedades algébricas
- Encontrando integrais definidas usando propriedades algébricas
- Integrais definidas em intervalos adjacentes
- Exemplo resolvido: divisão do intervalo da integral
- Exemplo resolvido: juntando integrais definidas ao longo de intervalos adjacentes
- Integrais definidas ao longo de intervalos adjacentes
- Funções definidas por integrais: intervalos trocados
- Cálculo da derivada com o teorema fundamental do cálculo: x no limite inferior
- Cálculo da derivada com o teorema fundamental do cálculo: x nos dois limites
- Revisão das propriedades das integrais definidas
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Encontrando integrais definidas usando fórmulas de área
Como integrais definidas são a área líquida entre uma curva e o eixo x, às vezes podemos usar fórmulas de áreas geométricas para calcular integrais definidas. Veja como isso é feito.
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Transcrição de vídeo
RKA8JV - Olá, meu amigo ou minha amiga!
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos resolver um exemplo sobre como encontrar
o valor de uma integral utilizando as áreas de algumas
figuras geométricas. A gente recebeu o gráfico
de uma função "f", e precisamos encontrar algumas
integrais aqui para esta função. Neste primeiro caso, vamos
calcular a integral definida de -6 a -2 de f(x)dx. Isso é igual a quê? Pause este vídeo e veja se você consegue
descobrir isso a partir deste gráfico. Ok, vamos fazer isso aqui juntos agora. Estamos indo aqui
de "x = -6" até "x = -2'', e a integral definida vai ser
a área abaixo da curva aqui em nosso gráfico e acima do eixo "x", então, vai ser esta área bem aqui. E como descobrimos o valor desta área? Bem, isso é um semicírculo, e sabemos como encontrar a área
de um círculo se soubermos o seu raio. Este círculo tem um raio igual a 2, e não importa a direção, saindo do centro, a gente sempre
tem um raio igual. A área de um círculo é πr². Assim, a área deste círculo será
π vezes o nosso raio, que é 2, ao quadrado. Mas como aqui temos um semicírculo, eu vou dividir isso aqui por 2, ou seja, é a metade da área
de um círculo completo. Então, esta integral definida
é igual a 4π/2, que é igual a 2π. Tudo bem, vamos
para o outro caso agora. Aqui temos a integral definida
de -2 a 1 de f(x)dx. Pause o vídeo e veja se você
consegue descobrir isso. Vamos fazer juntos agora? Vamos de -2 até 1. Observe que a gente precisa
ter um pouco de cuidado aqui para calcular essa integral definida, porque, conforme você pode ver, aqui no primeiro caso, a área estava abaixo da função
e acima do eixo "x", mas aqui, a área está abaixo do eixo "x"
e acima da curva da função. Então, o que podemos fazer
é descobrir o valor desta área. A gente pode fazer isso apenas
com o que sabemos de geometria. Aí, precisamos ter em mente que
quando temos um caso como este, em que a área está abaixo do eixo "x", a nossa integral definida
vai ser negativa. Enfim, qual é o valor desta área aqui? Bem, existem algumas maneiras
diferentes de pensar sobre esta área. A gente pode fazer isso
seguindo alguns caminhos. A gente pode ver esta figura
como um trapézio ou podemos simplesmente dividi-la
em um retângulo e dois triângulos. Fazendo desse jeito,
a gente tem um triângulo que tem uma área igual
a 1 vezes 2 vezes 0,5. Assim, este triângulo aqui
vai ter uma área igual a 1. Já este retângulo aqui,
tem uma área igual a 2 vezes 1, portanto, tem uma área igual a 2. E aí, teremos este outro triângulo aqui
que tem a mesma área do primeiro, tem uma base igual a 1
e uma altura igual a 2. Então teremos uma área igual a 1
vezes 2 vezes 0,5. Lembre-se, a área de um triângulo
é 0,5 vezes a altura vezes a base. Sabendo disso, a área
deste triângulo é igual a 1. Aí, se você somar essas áreas,
teremos 1 + 2 + 1, que é 4. Agora, você pode ser tentado a dizer: "ah, isso aqui vai ser igual a 4!" Mas lembre-se, a nossa função
aqui está abaixo do eixo "x'', então, isso aqui precisa ser igual a -4. Vamos fazer outro caso aqui agora. Aqui, a gente vai partir de 1
e vai até 4 de f(x)dx. Então pause este vídeo e veja
se você consegue descobrir isso. Aqui neste caso, nós vamos daqui até aqui, assim, vamos calcular esta área bem aqui. E como descobrimos isso? Bem, basta utilizar a fórmula
para calcular a área de um triângulo, ou seja, a base vezes
a altura vezes 0,5, ou simplesmente, 0,5 vezes
a base vezes a altura. Ou, você pode calcular 0,5 vezes a base, que tem um comprimento igual a 3, já que vai ter 1 até 4, então temos 0,5 vezes 3 vezes a nossa altura, que é 1, 2, 3, 4,
então é vezes 4. Aí, o resultado desta integral
é igual a 6. Por último, mas não menos importante, a gente tem uma integral aqui
indo de 4 até 6 f(x)dx. Então, isso vai ser igual
a esta área bem aqui. Mas temos que ter cuidado, nossa função está abaixo do eixo "x", então, vamos descobrir esta área,
mas a integral, vai ser negativa. Este semicírculo tem um raio igual a 1. Não se esqueça que
a área de um círculo é πr², então, temos aqui π vezes 1², só que você não pode se esquecer que esta seria a área se a gente
realizasse toda a volta, deste jeito aqui. Mas aqui temos apenas metade do círculo, então, dividimos isso por 2. E como esta área está acima
da função e abaixo do eixo "x", a função é negativa, logo, isso vai ser igual a -π/2. Eu espero que você tenha compreendido
tudo direitinho o que a gente viu aqui, e mais uma vez, eu quero deixar
para você um grande abraço, e até a próxima!