Exemplo resolvido: divisão do intervalo da integral

RKA10MP – Temos o gráfico de uma função g(t), ou seja, “g” está variando em função de “t”. Podemos definir uma outra função, mas agora, ao invés de ter “c” em relação a “x”, que determina a integral desta função g(t). Por exemplo, a gente pode ter esta função “G”, em que esta função vai ser em relação a “x”, que seja igual à integral, à integral definida vindo do ponto inicial, que é -3 até um ponto “x” qualquer desta função g(t) dt. Agora que a gente já definiu esta função, podemos fazer alguns testes e determinar esta função “G” em dois pontos diferentes. Por exemplo, a gente pode começar fazendo esta função em “G” quando “x” é igual a 4. Uma coisa que a gente precisa observar é que este “G” é maiúsculo e que este “g” é minúsculo. E isso é uma forma, inclusive, de determinar a antiderivada de g(t). Quando formos calcular este “G” no “x” igual a 4, o que a gente vai fazer é uma integral definida vindo de -3 até 4 de g(t) dt. O que queremos fazer agora? Como a gente quer calcular uma integral definida, precisamos lembrar que uma integral definida representa a área abaixo de uma curva, ou seja, a área que estará no gráfico entre a curva e o eixo “x”. Neste caso, a gente vai querer determinar a área que vai vir de “x” igual a -3 até “x” igual a 4. Então a gente vai vir desde “x” a -3, que é este ponto, até este ponto “x” igual a 4. Vamos querer determinar a área desta primeira figura juntamente com a área desta segunda figura. Inclusive, a gente pode separar esta integral em duas partes, fazendo de -3 até zero e depois de zero até 4. E é o que vamos fazer agora. Isso vai ser igual a quê? Vai ser igual à integral definida de -3 até zero, que representa esta primeira figura, de g(t) dt. Então isso representa a área desta primeira figura mais a integral definida de zero até 4, que é outro ponto que queremos e que representa a área de toda esta outra figura vindo até “x” igual a 4. Isso, novamente, em relação a g(t) dt. Como eu falei, a integral definida indica para a gente a área abaixo de uma curva, ou seja, a área gerada entre a curva da função e o eixo “x”. Aqui, por exemplo, a gente tem esta primeira área, que é determinada a partir desta integral definida de g(t) vindo de -3 até zero. A gente consegue rapidamente calcular a área formada aqui porque isso aqui é um triângulo. E como a gente calcula área de um triângulo? A área de um triângulo vai ser igual ao comprimento da base vezes o comprimento da altura dividido por 2. Então, a gente vai ter 3 vezes 3, que é 9 dividido por 2, que vai ser igual a 4,5. Então isso vai ser igual a 4,5 mais esta outra área. No entanto, a gente precisa fazer uma pequena observação. Quando temos uma área formada acima do eixo “x”, a gente tem uma área positiva, que é o caso deste 4,5. No entanto, quando a gente tem uma área formada abaixo do eixo “x”, a nossa área vai ser negativa. Então, ao invés desta integral indo de zero a 4 ser positiva, ela vai ser negativa, já que a área formada está abaixo deste eixo “x”. Então, ao invés de ter 4,5 mais alguma coisa, a gente vai ter 4,5 menos alguma coisa. Menos o quê? A área desta figura. Novamente, percebemos que isso daqui é um triângulo. E como a gente calcula a área de um triângulo? Comprimento da base que, neste caso, é 4, vezes o comprimento da altura, que também é 4 e divide por 2. 4 vezes 4 dá 16, 16 dividido por 2 é igual a 8. A gente vai chegar à resposta: 4,5 menos 8 é igual a -3,5. Este é o resultado desta integral vindo de -3 até 4 de g(t) dt, que é o resultado deste “G” com “x” igual a 4. A gente pode fazer a mesma coisa e fazer o cálculo agora para “G” com “x” igual a 8. Isso significa o quê? Que a gente vai integrar de -3 até 8 esta função g(t) dt. A gente pode fazer o mesmo procedimento agora e separar esta integral em algumas partes. Por exemplo, a gente pode pegar novamente esta primeira parte, que vem de -3 a zero, e a gente faz uma integral definida vindo de -3 a zero de g(t) dt, e somar agora com a integral definida da segunda parte, e esta segunda parte a gente pode pegar de zero e pegar toda esta outra figura vindo até “x” igual a 6. Então, a gente vai integrar aqui vindo de zero até 6 a função g(t) dt. Por último, a gente pode pegar vindo de 6 até 8, que é o nosso ponto final, e integrar para encontrar a área de toda esta figura. A gente põe mais a integral definida vindo de 6 até 8 de g(t) dt. Então, a gente já conseguiu pegar toda esta integral e separar estas três partes, porque aí conseguimos determinar a área de cada uma destas três figuras. Neste caso, a gente consegue fazer isso muito facilmente. Como? A integral vindo de -3 até zero é a área desta figura, que é um triângulo, e a gente já fez até isso aqui antes. Não foi igual a 4,5? Então a gente tem que isso aqui vale 4,5 mais a integral de g(t) dt vindo de zero a 6. Novamente, como esta área está abaixo do eixo “x”, a gente vai ter um sinal de menos porque esta área vai ser negativa. E, novamente, a gente tem um triângulo aqui. A gente vai pegar o comprimento da base que, neste caso, é 6, vai multiplicar por 4, que é a altura. 6 vezes 4 dá 24, e dividir por 2, que é 12, então a gente vai ter 4,5 menos 12 mais esta área que está acima do eixo “x”, então vai ser positiva. E, novamente, é um triângulo com uma base igual a 2 e uma altura igual a 4. 2 vezes 4 dá 8, que dividido por 2 dá 4, então isso vai ser igual a 4,5 menos 12, mais 4 é igual a -3,5. Olha, chegamos exatamente à mesma resposta. E o porquê disso? Se você reparar, a gente tem que esta integral de cima, de “g” igual a 4, corresponde à área desta figura menos a área desta outra figura, e isso deu 3,5. Enquanto que esta integral de baixo a gente vai pegar esta mesma área, vai subtrair esta e somar esta. No entanto, este triângulo tem a mesma área que este outro aqui de cima, então esta área negativa anula esta área positiva, o que faz com que não haja nenhuma alteração na área calculada anteriormente, ou seja, -3,5, por isso que a resposta desta integral deu o mesmo valor que esta outra.