Integração de somas de funções

RKA4JL - Nós temos aqui dois gráficos que representam duas funções. Aqui a função y igual a f(x) e aqui a função e y igual a g(x). Eu acredito que você já saiba como que a gente consegue representar a área abaixo dessa curva entre esses pontos 𝓪 e 𝓫. Para fazer isso basta você traçar uma linha vertical no ponto 𝓪 indo até a curva e a mesma coisa aqui no 𝓫. E depois, claro, demarcar toda essa área, então tudo isso representa a área abaixo dessa curva nesse intervalo indo do ponto 𝓪 até o ponto 𝓫. A mesma coisa neste outro gráfico. A gente traça uma reta vertical aqui no ponto 𝓪 e traça uma reta vertical aqui no ponto 𝓫 e tudo isso vai ser a área abaixo dessa curva entre os pontos 𝓪 e 𝓫. Para você conseguir determinar essa área, basta calcular a integral entre os pontos 𝓪 e 𝓫 da função f(x) em relação a x, então dx. A mesma coisa com essa outra função. Calcule a integral indo de 𝓪 até 𝓫 da função g(x) em relação a x. Nós podemos fazer agora um pequeno exercício colocando novamente aqui o gráfico dessa função y igual a f(x), e com isso vamos conversar um pouco sobre essa ideia da área abaixo da curva. Eu coloquei esse gráfico aqui porque estou muito interessado em saber qual vai ser a área formada pela função y igual a f(x) mais g(x). Para começar a gente já tem esse gráfico f(x) e a gente quer adicioná-lo à função g(x). Então eu vou pegar aqui mais ou menos visualmente e vou representar esse gráfico acima desse gráfico y igual a f(x). Vamos fazer isso. Para fazer isso a gente parte do ponto x igual a zero e observa essa distância. A gente tem uma distância muito pequena aqui, então a gente vem aqui nesse ponto inicial da função f(x) e coloca essa distância aqui, algo mais ou menos neste ponto. Estou tentando visualizar aqui mais ou menos. Esta distância seria essa distância aqui. Aqui no ponto 𝓪, vamos olhar aqui no ponto 𝓪, a gente tem uma distância levemente maior do que essa distância inicial, então a gente vai observar essa distância, vai vir aqui no ponto 𝓪 e colocar essa distância ali, um pouco maior que esta, então é algo mais ou menos nesse ponto. A gente vai vir, agora, mais ou menos aqui no meio, entre 𝓪 e 𝓫, vai observar essa distância, esta distância maior do que essa, então a gente vem aqui no ponto 𝓪 e 𝓫, vê essa distância, esse comprimento, e coloca aqui. Seria algo mais ou menos desse tamanho. Aqui no ponto 𝓫 a gente vê toda essa distância, então a gente vem aqui no ponto 𝓫 e vê toda essa distância. Seria algo mais ou menos desse tamanho aqui. Nesse comprimento a gente parte que desse ponto, nessa curva, e coloca aqui. Então a gente tem um gráfico mais ou menos assim, e então sobe e continua subindo. Claro, fiz aqui mais ou menos visualmente, mas é algo parecido com isso. Então por mais que eu tenha feito isso observando essas distâncias aqui, apenas visualmente, essa curva é uma boa aproximação dessa função f(x) mais g(x). Se nós quiséssemos agora calcular a área abaixo dessa curva, entre os pontos 𝓪 e 𝓫, a gente poderia fazer a mesma coisa que a gente fez aqui. Basta calcular a integral entre 𝓪 e 𝓫 nessa função f(x) mais g(x). Então a gente calcula a integral, a integral de 𝓪 até 𝓫 da função f(x) mais g(x) dx. Uma coisa interessante que eu quero conversar com você é: como essa área aqui se relaciona com essas duas áreas? Ou seja, como que essa integral se relaciona com essas duas integrais? Eu acho que fica fácil observar que essa primeira área aqui corresponde a essa primeira área, a área abaixo dessa curva y igual a f(x). Agora essa outra área fica um pouco mais difícil de visualizar. Por quê? Porque não temos um desenho parecido com esse aqui, então se você lembrar bem da ideia de integral, a gente está pegando um limite. Aqui temos um pequeno triangulozinho. A gente, na verdade, está pegando vários pequenos triângulos e vendo nesse pequeno triângulo aqui qual o resultado dessa função. E então, a partir de todos esses pequenos triângulos, a gente consegue calcular a área e somar a área de todos esses triângulos para encontrar a área total. Se você pegar triângulos cada vez menores, ou seja, um limite tendendo a zero, nós vamos ter áreas cada vez menores e alturas cada vez menores. Mas observe que, por exemplo, se eu pegar essa altura aqui, eu terei uma altura igual aqui, afinal o que eu fiz foi justamente isso: determinar a altura aqui e determinar a altura aqui. A única diferença entre essa curva e essa outra curva é que ela está deslocada a partir dessa função y igual a f(x), mas a altura é a mesma. Consequentemente essa pequena área aqui também vai ser a mesma, e o mesmo ocorre com cada uma dessas alturas. Se a gente pegar a área de cada um desses pequenos retângulos, a gente vai encontrar a área igual a essa. Isso significa que a soma de todas essas áreas pequenas vai ser igual à soma de todas essas áreas pequenas. Consequentemente a área total daqui vai ser igual à área total daqui. Claro, não estou fazendo uma prova para você, não estou fazendo uma demonstração. Estou mostrando algo que é bem intuitivo, certo? Então se esta área é igual a essa área aqui, e esta área debaixo é igual a essa área, nós podemos dizer que toda essa área total é igual à soma dessas duas áreas. Dessa forma nós podemos dizer que a integral dessa função f(x) mais g(x), que corresponde à área total abaixo dessa curva, vai ser igual à soma dessas duas integrais, ou seja, a integral de f(x) mais a integral de g(x) é igual à integral da soma das duas funções. Tudo bem, você pode estar se perguntando: "OK, mas isso vai ser útil para quê?" Isso vai ser muito útil na resolução de integrais definidas porque, principalmente, vão existir algumas funções que a princípio vão parecer difíceis, mas quando fizer a decomposição desse jeito aqui, você vai conseguir calcular a integral com muito mais facilidade. Por exemplo, vamos supor que você queira calcular a integral definida de zero a 1 na função (x² mais sen x) dx. Você conhece integral de x² e também conhece integral de seno de x, mas fazendo desse jeito parece ser algo difícil. Você pode aplicar essa propriedade e calcular integral de forma separada. Assim a gente tem que a integral dessa função vai ser igual à integral de zero a 1 de x² dx mais a integral indo de zero a 1 de sen x dx. Dessa forma você consegue fazer isso com muito mais facilidade, porque basta calcular a integral definida aqui e somar com a integral definida daqui.