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Transcrição de vídeo

Nós já vimos isso. Você provavelmente está cansado de me ouvir dizer repetidamente que esta área amarela aqui, sob a curva y igual a f de x. E sobre a parte positiva do eixo x, ou você poderia dizer apenas sobre o eixo x, entre os pontos x igual a "a" e x igual a "b". Que nós podemos denotar esta área aqui como a integral definida, de "a" a "b", de f de x, dx. Agora o que eu quero explorar neste vídeo, e que vai surgir como uma resposta que você pode ter pensado por conta própria, ou ao menos ter uma intuição disso. Eu quero começar a pensar na área sob a curva que é uma versão escalonada de f de x. Suponhamos y igual a "c" vezes f de x. Y é igual a algum número vezes f de x. Então é f de x escalonada. E então, eu quero que isso seja um número arbitrário. Apenas pra ajudar a visualizar, sabe, deixe-me desenhar algo Vou apenas, tipo na minha cabeça, vamos fingir que este "c" é três. Apenas para efeitos de visualização. Então será três vezes essa distância, ao invés de uma. Ao invés dessa distância aqui, será mais ou menos essa distância aqui. Ao invés dessa distância aqui, será essa. E mais uma vez aqui. E então, ao invés disso, será mais ou menos aqui. E então ao invés disso ser assim, será - um, dois, três - bem aqui. Só estou tentando ter uma noção de como essa curva será. Teremos uma versão escalonada de f de x. Ao menos o que estou desenhando é bem perto do que seria três vezes f de x, mas só pra te dar uma ideia será parecido com... Aqui, veja, essa distância será aqui em cima Será alguma coisa parecida com isso aqui. Então, isso é uma versão escalonada. A escala que eu usei aqui, eu supus um "c" positivo, maior que zero, mas isso é só pra ajudar à visualizar. Agora, qual deverá ser a área sob essa curva, entre "a" e "b"? Qual deve ser essa área aqui? E nós já sabemos como podemos denotá-la. Aquela área ali é igual a integral definida, de "a" a "b" da função que estamos integrando - é "c" f de x dx. Eu acho que farei a pergunta de forma mais clara. Qual a relação disso com isso? Qual a relação desta área verde com essa área amarela? Bom, uma forma de se pensar nisso é - nós apenas deslocamos "c" vezes na vertical. Então um jeito de se pensar é, bom, se eu estou descobrindo a área de alguma coisa. Se eu tenho a área de um retângulo e a dimensão vertical é, digamos, a dimensão vertical é... Não quero usar as mesmas letras toda hora. Bom, digamos que a dimensão vertical é alfa. E a dimensão horizontal é beta. Nós sabemos que a área será alfa vezes beta. Agora, se eu ampliar a dimensão vertical "c" vezes, então ao invés de alfa, isso será "c" vezes alfa. E essa é a largura, é beta. Se eu ampliar a dimensão vertical "c" vezes, isto é, essencialmente, isso é agora "c" vezes alfa, qual será a área? Bom, será "c" alfa vezes beta. Ou, outra forma de pensar nisso, eu apenas peguei - quando ampliei uma das dimensões "c" vezes - peguei a área antiga e ampliei "c" vezes. E é isso que estamos fazendo. Nós estamos ampliando a dimensão vertical "c" vezes, quando você multiplica "c" vezes f de x, que é nossa altura. Agora, claro que isso muda à medida que x varia. Mas quando você se lembra das somas de Riemann, a f de x nos dava as alturas dos retângulos. Nós estamos agora ampliando a altura, ou melhor, escalonando pois poderíamos estar reduzindo dependendo do "c" escolhido Estamos escalonando. Escalonando uma dimensão por "c". Fazendo isso você estará escalonando a área por "c". Então isso aqui, a integral, deixe-me escrever isso. A integral de "a" a "b", de "c" f de x dx, será apenas... Nós pegaremos apenas a área de f de x. Deixe-me fazer isto usando a mesma cor. Nós pegaremos a área sob a curva f de x de "a" a "b", f de x dx, e nós vamos apenas ampliá-la "c" vezes. Vamos apenas ampliá-la "c" vezes. Você pode dizer, tudo bem, eu meio que senti que isso era, sabe, o "c" dentro da integral e eu posso tirá-lo da integral. E mais uma vez, isso não é uma prova rigorosa baseada na definição da integral definida, mas eu espero que te dê uma intuição do porquê disso. Se você ampliar a função, você estará, essencialmente, ampliando a dimensão vertical, então a área sob isto será apenas uma versão ampliada da área sob a função original, f de x. E mais uma vez, uma propriedade muito, muito, muito útil das integrais definidas, que nos ajudará a resolver várias delas. E esclarece um pouco mais a utilidade delas. [legendado por: Vitor Tocci]