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Inversão de limites da integral definida

O que acontece quando você troca os limites de uma integral?

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Transcrição de vídeo

RKA2G - Nós temos uma função y = f(x) e temos dois pontos: "a" e "b". Nós já vimos diversas vezes a definição da integral, em que a integral corresponde a toda esta área formada abaixo desta curva, entre os pontos "a" e "b". Basicamente, para determinar a integral, é observar pequenos retângulos (por exemplo, um retângulo 1, um retângulo 2, vários e vários indo até um outro retângulo "n") e somar todos esses retângulos. Vamos supor que este pequeno retângulo tenha um comprimento Δx e que todos os retângulos tenham o mesmo comprimento Δx. Um detalhe: existem outras definições para integral em que este Δx não precisa ter necessariamente o mesmo tamanho, mas aqui eu vou considerar que todos eles tenham o mesmo tamanho, todos têm o mesmo comprimento, tudo bem? Sendo assim, para determinar este comprimento Δx, basta simplesmente calcular a diferença entre "a" e "b" e dividir pelo número de retângulos que tem aqui dentro. Então, teríamos: b - a, dividido por "n", que corresponde ao número de retângulos que tem aqui dentro. Assim, a gente consegue determinar o comprimento de cada um desses retângulos. Agora, se a gente quiser saber a área de cada retângulo, basta multiplicar o comprimento do retângulo (Δx) com a altura desse retângulo. Ou seja, basta multiplicar o comprimento Δx com a função f(x), que corresponde à altura de cada um desses triângulos em cada um dos pontos ao longo da função. Isso corresponde à área de cada retângulo. Assim, somando todas as áreas, indo da área do primeiro retângulo até o retângulo "n", a gente consegue determinar a área de toda esta figura. Vamos fazer aqui: para determinar esta área, a gente calcula o somatório de i = 1, indo até "n", da área formada por cada um destes retângulos. Então, teríamos que a função para xᵢ, f(xᵢ), vezes Δx. Como todos os retângulos têm o mesmo comprimento Δx, eu não vou colocar aqui o "i", onde Δx = b - a, dividido por "n". Um detalhe importante: como isso é uma função não linear, a gente precisa considerar que cada um destes retângulos são infinitamente pequenos. Então, precisamos considerar que este Δx está tendendo a zero. Vamos calcular o limite de Δx tendendo a zero. Esta área, que corresponde a esta integral, vai ser igual ao limite de Δx tendendo a zero. E o limite de Δx tendendo a zero, nós vamos encontrar um Δx tendendo a zero quando "n" tender ao infinito, já que, com "n" tendendo ao infinito, a gente vai ter infinitos retângulos formados aqui e cada um deles tem um Δx muito próximo de zero, um Δx tendendo a zero. Então, a gente calcula esse limite com "n" indo para o infinito, tendendo ao infinito. Ok, fizemos esta integral. Agora vamos supor que a gente queira saber a integral, ao invés de ir do "a" para o "b", indo do "b" para o "a". Então, teríamos aqui a integral, indo de "b" para "a", da mesma forma, de f(x) dx. Isto vai ser igual... Se você observar, vamos ter basicamente a mesma coisa. Vamos ter infinitos retângulos aqui, em que a área de cada um desses infinitos retângulos vai ser o somatório da função de "x" vezes Δx. E, como vamos ter infinitos retângulos com Δx tendendo a zero, vamos ter também um limite de "n" tendendo ao infinito. Então, a gente pode copiar tudo isto e colar aqui embaixo. Vamos copiar e colocar tudo isso aqui, deste jeito, porque é exatamente a mesma coisa. Agora a gente só precisa fazer uma pequena observação: O f(x) não vai mudar. Independente de você ir do "a" para o "b" ou do "b" para o "a", o f(x) aqui é o mesmo f(x) aqui. Mas este Δx vai mudar, já que, se você for do "a" para o "b", você vai ter um Δx positivo. Agora, se você for do "b" para o "a", você vai ter um Δx negativo. Aqui, nesta expressão de baixo, o Δx é negativo. Aqui a gente tem um Δx negativo, já que a gente não vai ter b - a. O Δx vai ser igual a a - b, já que a gente está indo agora do "b" para o "a". Então, tendo esse Δx negativo, neste somatório todo a gente vai encontrar um valor negativo. Em contrapartida, como o Δx aqui em cima é igual a b - a, sobre "n", a gente tem um valor positivo. Estas duas expressões são iguais em módulo. No entanto, um é positivo, enquanto o outro é negativo. Sendo assim, eu posso dizer para você que a integral indo de "b" até "a" da função f(x) dx vai ser igual a menos a integral indo de "a" até "b" da função f(x) dx. Essa é uma propriedade muito importante e que vai te ajudar a resolver diversos problemas, sabendo, que quando você inverte o intervalo, vai estar trocando o sinal da integral. Então, se você quer calcular integral indo de "a" até "b", isso vai ser igual à integral indo de "b" até "a", só que com o sinal trocado. Como eu disse, essa é uma propriedade de integração muito importante, principalmente para identificar alguns intervalos e até mesmo resolvê-los.