Demonstração do teorema fundamental do cálculo

O teorema fundamental do cálculo é muito importante no cálculo (você pode até dizer que ele é fundamental!). Ela conecta derivadas e integrais em duas formas equivalentes:

\begin{aligned} I . & \frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x) \\ I I . & \int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) \end{aligned}

A primeira parte diz que se você definir uma função como a integral definida de outra função

f

, então a nova função é uma primitiva de

f

A segunda parte diz que para encontrar a integral definida de

f

entre

a

b

, devemos encontrar uma primitiva de

f

, chamá-la de

F

, e calcular

F (b) - F (a)

O curso de cálculo avançado não exige saber a prova dessa regra, mas acreditamos que enquanto uma prova estiver acessível, sempre haverá alguma coisa para se aprender com ela.. Em geral, sempre é bom exigir algum tipo de prova ou justificativa para os teoremas que você aprende.

Primeiro, vamos provar a primeira parte do teorema.

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Proof of fundamental theorem of calculusVer transcrição do vídeo

Depois, oferecemos uma intuição sobre a correção da segunda parte.

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Intuition for second part of fundamental theorem of calculusVer transcrição do vídeo

Finalmente, provamos a segunda parte do teorema com base na primeira parte.

Invólucro do vídeo da Khan Academy

The fundamental theorem of calculus and definite integralsVer transcrição do vídeo

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