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O teorema fundamental do cálculo e integrais definidas

Há na verdade duas versões do teorema fundamental do cálculo, e estudaremos a conexão aqui. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA3JV - Olá, tudo bem? Aqui nós temos o gráfico de uma função y = f(t). E aqui nós temos um intervalo que vai de "c" até "d". Mais um detalhe, por que eu coloquei o "c" e o "d" aqui? Bem, porque o "a" e o "b" eu vou deixar reservado, porque eu vou usá-los um pouco mais tarde. Tudo bem? Então, a gente vai ter aqui apenas o intervalo "c" e "d". Vamos supor, também, que a gente tenha aqui um outro ponto "x" qualquer e que a gente queira determinar a área abaixo da curva, neste intervalo de "c" até "x". Bem, vamos supor que a gente tenha uma função que indica para a gente a área desta curva e esta função vai ser F(x). Bem, então, a área abaixo desta curva vai ser essa função F(x). Beleza? E uma outra forma, também, de calcular a área abaixo desta curva, caso a gente já tenha uma função, seria calcular a integral definida neste intervalo aqui, indo de "c" até "x". Então, neste intervalo indo de "c" até "x", para esta função f(t) em relação a "dt". Um detalhe, o nosso intervalo aqui é contínuo. E é, exatamente, por este intervalo ser contínuo, que a gente pode utilizar essa ideia aqui. Inclusive, isto aqui é chamado de teorema fundamental do cálculo. E que diz para a gente que a gente tem uma função F(x), em que essa função F(x) vai ser igual à integral da função f(t) dt. Neste intervalo aqui, indo de "c" até "x", desde que este intervalo seja contínuo. Mas o que seria este F(x)? Este F(x) é chamado de antiderivada de f(x). Ou seja, caso a gente derive esta função F(x), a gente vai encontrar uma função f(x). Sendo assim, nós podemos dizer que esta função "F" maiúsculo é uma antiderivada de "f" minúsculo de "x". Isso indica para a gente que essa função, além de ser contínua, também tem que ser diferenciável neste intervalo. Ou seja, nós precisamos encontrar a derivada desta função em qualquer ponto ao longo deste intervalo. Beleza! Então, você conseguiu entender a ideia? Essa função tem que ser contínua, ao longo deste intervalo indo de "c" até "x", e ela também tem que ser diferenciável ao longo deste intervalo. Bem, vamos supor agora que a gente vai pegar outros dois pontos. Este é outro ponto aqui, que eu vou chamá-lo de "b" e este outro ponto aqui em "x = a". Então, nós temos dois pontos aqui, em que aqui é "x = b", e aqui é "x = a". Vamos supor que eu queira calcular a área abaixo da curva, neste intervalo que vai de "c" até "b". De acordo com o teorema fundamental do cálculo, basta eu integrar a função f(t) no intervalo que vai de "c" a "x", certo? Mas vamos apenas escrever essa informação aqui. Nós vamos ter essa função F(b) em que ela representa aqui para a gente a área abaixo da curva neste intervalo indo de "c" até "b". Vamos supor agora que eu também queira calcular a área abaixo da curva, no intervalo indo de "c" até "a". A gente vai querer dar o colar toda essa área aqui indo de "c" até "a", certo? Nós também vamos ter uma função que representa essa área, que vai ser a função F(a). Agora, vamos supor que a gente queira calcular a área que vai neste intervalo aqui de "a" até "b". Bem, para calcular a área neste intervalo que vai de "a" até "b", a gente não precisa estabelecer uma outra função. Basta apenas fazer a diferença entre a área de "b" com a área de "a". Porque se eu tenho a área de "b" que corresponde a tudo isso aqui e eu tirar essa área que corresponde a este F(a), eu vou encontrar essa área restante, que vai corresponder para a gente, à área abaixo da curva no intervalo de "a" até "b". Então, basta subtrair este F(b), que é a função que representa a área de "b", menos F(a), que é a função que representa para a gente a área de "a". Mas, como eu falei, pelo teorema fundamental do cálculo, F(b) é igual à integral definida indo de "c" até "b" da função f(t) dt. E F(a) é a integral definida indo de "c" até "a" de f(t) dt. Bem, essa área aqui, então, seria a diferença entre as duas áreas. A área "b", supondo que a área "b" seja maior que a área "a", menos a área "a". Vai sobrar, então, apenas essa área menor. E para determinar essa área menor, utilizando a ideia da integral, basta calcular a integral definida desta função f(t) nos limites de integração indo de "a" até "b". Então, esta área verde aqui, que corresponde a essa diferença, também vai ser igual à integral definida, indo de "a" até "b" de f(t) dt. Sendo assim, nós podemos dizer que essa integral aqui, definida, com os limites de integração indo de "a" até "b" de f(t) dt, vai ser igual à diferença destas funções que representam a área. Da função que representa a área para "b" menos a função que representa a área em relação a esse este "a" aqui, de "c" até "a", neste intervalo indo de "c" até "a". Em que F(b) representa a área abaixo da curva, no intervalo indo de "c" até "b". E F(a) representa a área abaixo da curva indo de "c" até "a". Mas o que seria este "F"? Este "F", conforme eu já falei anteriormente, representa uma antiderivada de "f". Então, quando eu estou falando deste "F", eu estou dizendo que é uma função que representa a área. Em termos do cálculo, a gente pode dizer que este "F" é uma antiderivada do "f". Então, a gente pode até escrever essa informação aqui, que "F" é antiderivada de "f". Então, nós podemos até arrumar isto aqui e dizer que a integral definida neste intervalo indo de "a" até "b", é essa área entre esses dois pontos conhecidos, de f(t) dt, que a nossa função aqui y = f(t) vai ser igual à antiderivada da função f(x) calculada no ponto "b", menos a antiderivada de f(x) calculada no ponto "a". Isto daqui, é um dos pontos mais importantes da aula de cálculo. E, inclusive, essa relação é chamada de segundo teorema fundamental do cálculo. E é muito importante que você saiba o segundo teorema fundamental do cálculo, quando você estiver calculando integrais definidas. Assim, fica muito mais fácil você calcular uma integral definida em dois limites de integração, calculando apenas a antiderivada da função e depois fazendo a diferença do cálculo destas antiderivadas nestes dois pontos, no ponto "b" e no ponto "a". Assim, a gente vai conseguir chegar à resposta para essa integral definida. Então, lembre-se que este é um dos pontos mais importantes que você precisa guardar aqui da aula de cálculo.