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Integrais indefinidas: somas e multiplicações

Uma integral indefinida de uma soma é igual à soma das integrais das suas partes componentes. Constantes podem ser "tiradas" das integrais.

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Transcrição de vídeo

RKA14C Olá, meu amigo e minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos estudar duas propriedades das integrais indefinidas. Repare que eu já coloquei aqui estas duas integrais na tela. Esta primeira está dizendo que a integral indefinida da soma de duas funções é igual à soma das integrais indefinidas de cada uma dessas funções. Já esta outra diz que a integral indefinida de uma constante, ou seja, algo que não é uma função de x vezes f(x), é igual a essa constante vezes a integral indefinida de f(x). Uma forma de pensar nessa propriedade é que podemos tirar essa constante dessa integral. No futuro, a gente vai ver que essas duas técnicas são muito úteis. Agora, se você está satisfeito com que está escrito aqui, é só seguir em frente. Mas, se você gosta de demonstrações, é só continuar assistindo a este vídeo, já que eu vou apresentar argumentos que vão validar essas propriedades. Para isso, vamos utilizar as propriedades das derivadas. Sabendo disso, vamos começar aqui pela primeira. Vamos derivar em ambos os lados dessa igualdade para ver se, ao fazer isso, se essa igualdade se mantém. Bem, vamos fazer aqui, vamos derivar em relação a x em ambos os lados aqui. Derivando em relação a x aqui do lado esquerdo, temos que isto aqui vai se tornar seja lá o que tenha dentro da integral indefinida. Afinal, a derivada da integral de uma coisa é igual a essa coisa. Assim, isto aqui vai se tornar apenas f(x) + g(x). Agora, o que isto aqui do lado direito vai se tornar? Bem, podemos apenas aplicar uma das propriedades da derivada. A derivada da soma de duas coisas é a mesma coisa que a soma das derivadas dessas coisas. Bem, isso vai ser um pouquinho mais demorado. Mas isto aqui vai ser igual a d/dx dessa primeira parte, mais d/dx dessa segunda parte. Bem, esta primeira parte aqui é ∫ f(x) d/dx. Esta segunda parte é ∫ g(x) d/dx. Agora, o que são essas coisas? Estas coisas aqui... Vou escrever o sinal de igual aqui, ok? Então, isto vai ser igual à derivada disto em relação a x, que vai ser apenas f(x), mais a derivada em relação a x disto aqui, que vai ser apenas g(x). Logo, isso é obviamente verdadeiro, a igualdade se manteve. Agora vamos resolver isto aqui. Vamos fazer a mesma coisa. Vamos calcular a derivada de ambos os lados. Ou seja, a derivada em relação a x disto aqui e a derivada em relação a x disto aqui. A gente já percebe logo de cara que o lado esquerdo vai ser tornar c vezes f(x). Agora, o lado direito vai se tornar... Bem, nós sabemos das propriedades da derivada, em que a derivada de uma constante vezes alguma coisa é a mesma coisa que a constante vezes a derivada dessa coisa. Sendo assim, temos que isto aqui vai ser a constante vezes a derivada da integral indefinida de f(x) d/dx. Tudo isso vai ser igual a c vezes f(X). Então, mais uma vez, você pode ver que a igualdade claramente está se mantendo. Bem, espero que isso faça você se sentir bem em relação a essas propriedades. Mas, claro, além disso, o mais importante é que você saiba quando utilizá-las. Então, como exemplo aqui, vamos supor que eu queira calcular a integral indefinida de: x² + cos x. Bem, vamos utilizar uma das propriedades que vimos aqui. Como visto, isso é a mesma coisa que ∫ x² dx + ∫ cos x dx. Dessa forma, sem dúvida, fica bem mais fácil de calcular a integral. Agora, vamos supor também que a gente queira calcular a integral indefinida de π vezes sen x dx. Bem, podemos tirar a constante aqui dessa integral, afinal, π não é dependente de x. Assim, essa integral é igual a π vezes ∫ sen x dx. Enfim, essas duas propriedades são muito úteis! Eu espero que elas lhe ajudem muito ainda no futuro. Espero que você tenha compreendido tudo direitinho que vimos aqui e, claro, como sempre, quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!