Reescrever antes de integrar

RKA14C Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil! Neste vídeo, vamos resolver três exemplos de integrais indefinidas. O primeiro exemplo que eu vou resolver aqui é este: a integral indefinida de x² vezes (3x - 1) dx. Pause este vídeo e veja se você consegue fazer isso. Você deve estar pensando no tipo de técnica sofisticada que deveria usar para resolver, não é? Mas existe uma forma não tão complexa que você verá em diversos momentos e que talvez seja a melhor técnica para resolver isso, que é realizar uma simplificação algébrica. Por exemplo, nesta situação, o que aconteceria se a gente distribuísse esse x²? Bem, ao fazer isso, vamos obter um polinômio aqui dentro da integral. Sendo assim, isso vai ser igual a: ∫ x² vezes 3x, que é 3x³, menos 1 vezes x², que é -x², e isso vezes dx. Agora, fica muito fácil de calcular. Isso vai ser igual a... A antiderivada de x³ é x⁴/4. Então, isso vai ser 3 vezes x⁴/4. Eu poderia escrever assim, mas vou escrever colocando 3x⁴/4, fica melhor assim. Agora, menos... A antiderivada de x² é x³/3. Então, teremos aqui -3x³/3. Como isso é uma integral indefinida, somamos isso aqui com uma constante. Pronto, terminamos! A grande lição aqui é que você pode aplicar a propriedade distributiva para obter uma expressão mais simples para encontrar a antiderivada. Vamos fazer outro exemplo agora? Vamos dizer que a gente queira calcular a integral indefinida de... Essa expressão vai ser cabeluda! Então, x³ + 3x² - 5, tudo isso sobre x² e vezes dx. Qual é o resultado disso? Pause o vídeo novamente e veja se você consegue descobrir isso. Mais uma vez, você pode achar que é preciso truques muito complexos para resolver isso, ou qualquer outra coisa louca que a gente tenha que fazer. Mas a ideia principal aqui é perceber que você pode apenas realizar uma simplificação algébrica. O que acontece se, por exemplo, você apenas dividir cada um destes termos por x²? Bem, essa coisa vai ser igual a... Eu vou colocar entre parênteses, ok? x³ dividido por x² é apenas x. Agora, 3x² dividido por x² é apenas 3. -5 dividido por x², você pode escrever como -5 vezes x⁻². Colocamos vezes dx aqui. Mais uma vez, só precisamos usar a regra da potência ao contrário para encontrar a antiderivada. A antiderivada de x é x²/2 . Temos então x²/2 mais a antiderivada de 3, que é 3x, menos a antiderivada de -5x⁻². Somamos 1 no expoente, então, teremos -1 no expoente. E dividimos a expressão por esse novo valor. Dividindo -5x⁻¹ por -1 vai dar um valor positivo. Ou seja, teremos tudo isso mais 5x⁻¹. Claro, não podemos esquecer de somar isso com a nossa constante. Nunca esqueça disso, afinal, estamos calculando uma integral indefinida. Vamos fazer mais um exemplo. Vamos calcular agora a integral indefinida de ³√x⁵ dx. Pause o vídeo e veja se você consegue fazer isso. Bem, aqui a compreensão é muito boa. Se você apenas reescrever tudo isso como um expoente, teremos a integral indefinida de (x⁵)¹/³. Eu acabei de reescrever ³√ como 1/3 no expoente. Eu vou colocar o dx aqui agora. Isso é mesma coisa que a integral indefinida de x elevado a... Pelas propriedades da potenciação, quando eu tenho uma potência de potência, eu posso multiplicar esses dois expoentes. Assim, teremos x⁵/³ dx. Talvez você já tenha ido direto para esta etapa aqui. Não tem problema, só quis mostrar o caminho total. Agora, mais uma vez, só precisamos utilizar a regra da potência ao contrário. Assim, isso vai ser igual a x... Vamos somar 1 no expoente ou simplesmente 3/3. Assim, teremos x⁸/³. E dividimos isso por 8/3, que é a mesma coisa que multiplicar pelo inverso. Ou seja, vamos multiplicar esse x⁸/³ por 3/8. Claro, não podemos esquecer de somar a nossa constante C. Se você derivar e usar a regra da potência aqui, teremos 8/3 vezes 3/8, que vai ser igual a 1. Aí, subtraindo aqui do expoente 3/3 ou 1, teremos 5/3 no expoente. É exatamente o que tínhamos aqui no início! Enfim, meu amigo ou minha amiga, a grande lição deste vídeo é que muitas vezes a técnica mais poderosa de integração é literalmente uma simplificação algébrica. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho, e mais uma vez quero deixar aqui para você um grande abraço. Até a próxima!