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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 6
Lição 8: Cálculo de primitivas e integrais indefinidas: regras básicas e notação: regra da potência reversa- Regra da potência reversa
- Regra da potência reversa
- Regra da potência reversa: potências fracionárias e negativas
- Integrais indefinidas: somas e multiplicações
- Regra da potência reversa: somas e multiplicações
- Reescrever antes de integrar
- Regra da potência reversa: reescrever antes de integrar
- Revisão da regra da potência reversa
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Reescrever antes de integrar
Algumas integrais indefinidas são muito mais simples de integrar reescrevendo algebricamente o integrando primeiro.
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- Encontrei dificuldade para ficar 100%. Conclui os exercicios e nao grava(1 voto)
- que estranho mano, como voce ta logado era pra gravar, vc olhou se os seus exercícios está escrito "proficiente"?(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA14C Olá, meu amigo ou minha amiga!
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil! Neste vídeo, vamos resolver
três exemplos de integrais indefinidas. O primeiro exemplo que
eu vou resolver aqui é este: a integral indefinida
de x² vezes (3x - 1) dx. Pause este vídeo e veja
se você consegue fazer isso. Você deve estar pensando
no tipo de técnica sofisticada que deveria usar para resolver, não é? Mas existe uma forma não tão complexa que você verá em diversos momentos e que talvez seja a melhor técnica
para resolver isso, que é realizar
uma simplificação algébrica. Por exemplo, nesta situação,
o que aconteceria se a gente distribuísse esse x²? Bem, ao fazer isso, vamos obter um polinômio
aqui dentro da integral. Sendo assim,
isso vai ser igual a: ∫ x² vezes 3x,
que é 3x³, menos 1 vezes x²,
que é -x², e isso vezes dx. Agora, fica muito fácil de calcular. Isso vai ser igual a... A antiderivada de x³
é x⁴/4. Então, isso vai ser 3 vezes x⁴/4. Eu poderia escrever assim, mas vou escrever colocando 3x⁴/4,
fica melhor assim. Agora, menos... A antiderivada de x²
é x³/3. Então, teremos aqui -3x³/3. Como isso é uma integral indefinida, somamos isso aqui
com uma constante. Pronto, terminamos! A grande lição aqui
é que você pode aplicar a propriedade distributiva para obter uma expressão mais simples para encontrar a antiderivada. Vamos fazer outro exemplo agora? Vamos dizer que a gente queira calcular
a integral indefinida de... Essa expressão vai ser cabeluda! Então, x³ + 3x² - 5, tudo isso sobre x²
e vezes dx. Qual é o resultado disso? Pause o vídeo novamente e veja
se você consegue descobrir isso. Mais uma vez, você pode achar que é preciso truques muito complexos
para resolver isso, ou qualquer outra coisa louca
que a gente tenha que fazer. Mas a ideia principal aqui
é perceber que você pode apenas realizar uma
simplificação algébrica. O que acontece se,
por exemplo, você apenas dividir cada um
destes termos por x²? Bem, essa coisa vai ser igual a... Eu vou colocar entre parênteses, ok? x³ dividido por x² é apenas x. Agora, 3x² dividido por x²
é apenas 3. -5 dividido por x²,
você pode escrever como -5 vezes x⁻². Colocamos vezes dx aqui. Mais uma vez, só precisamos usar
a regra da potência ao contrário para encontrar a antiderivada. A antiderivada de x é x²/2 . Temos então x²/2 mais a antiderivada de 3,
que é 3x, menos a antiderivada de -5x⁻². Somamos 1 no expoente, então, teremos -1 no expoente. E dividimos a expressão
por esse novo valor. Dividindo -5x⁻¹ por -1
vai dar um valor positivo. Ou seja, teremos tudo isso
mais 5x⁻¹. Claro, não podemos esquecer de somar
isso com a nossa constante. Nunca esqueça disso, afinal, estamos calculando
uma integral indefinida. Vamos fazer mais um exemplo. Vamos calcular agora
a integral indefinida de ³√x⁵ dx. Pause o vídeo e veja
se você consegue fazer isso. Bem, aqui a compreensão é muito boa. Se você apenas reescrever tudo isso
como um expoente, teremos a integral indefinida de (x⁵)¹/³. Eu acabei de reescrever ³√
como 1/3 no expoente. Eu vou colocar o dx aqui agora. Isso é mesma coisa que
a integral indefinida de x elevado a... Pelas propriedades da potenciação, quando eu tenho
uma potência de potência, eu posso multiplicar
esses dois expoentes. Assim, teremos x⁵/³ dx. Talvez você já tenha ido
direto para esta etapa aqui. Não tem problema,
só quis mostrar o caminho total. Agora, mais uma vez, só precisamos
utilizar a regra da potência ao contrário. Assim, isso vai ser igual a x... Vamos somar 1 no expoente
ou simplesmente 3/3. Assim, teremos x⁸/³. E dividimos isso por 8/3, que é a mesma coisa que
multiplicar pelo inverso. Ou seja, vamos multiplicar
esse x⁸/³ por 3/8. Claro, não podemos esquecer
de somar a nossa constante C. Se você derivar e usar
a regra da potência aqui, teremos 8/3 vezes 3/8,
que vai ser igual a 1. Aí, subtraindo aqui
do expoente 3/3 ou 1, teremos 5/3 no expoente. É exatamente o que tínhamos
aqui no início! Enfim, meu amigo ou minha amiga,
a grande lição deste vídeo é que muitas vezes a técnica
mais poderosa de integração é literalmente
uma simplificação algébrica. Eu espero que você tenha
compreendido tudo direitinho, e mais uma vez quero deixar aqui
para você um grande abraço. Até a próxima!