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Integral indefinida de 1/x

Em cálculo diferencial, aprendemos que a derivada de ln(x) é 1/x. A integração faz o caminho contrário: a integral (ou primitiva) de 1/x deve ser uma função cuja derivada é 1/x. Como acabamos de ver, isto é ln(x). No entanto, se x for negativo, ln(x) será indefinida! A solução é bastante simples: a primitiva de 1/x é ln(|x|). Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA2G - Neste vídeo, gostaria de falar sobre a antiderivada de (1/x)dx. Podemos escrever como a antiderivada de x⁻¹ dx. Não podemos aplicar a regra da potência aqui, porque ficaria x⁰/0, e isso não tem definição. Então, quanto seria? Nós sabemos que a derivada do logaritmo natural de x/dx é igual a 1/x. Então, por que não falar logo que a antiderivada de 1/x é o logaritmo natural de "x", mais uma constante? A função x⁻¹ é definida para todo "x" pertencente aos reais, diferente de zero, enquanto que o domínio desta outra função é apenas para "x" maior do que zero. O que nós podemos fazer? Nós podemos ver como se comporta a função logaritmo natural do módulo de "x". Para "x" maior do que zero, não tem problema. Nós temos que o logaritmo natural do módulo de "x" vai ser igual ao logaritmo natural de "x", ou seja, a derivada do logaritmo natural do módulo de x/dx vai ser igual à derivada do logaritmo de x/dx, que vai ser igual a 1/x. Então, isso não tem problema para "x" positivo. Agora vamos ver como se comporta para "x" negativo. Ou seja, quero que seja para todos os "x". A derivada do logaritmo natural do módulo de x/dx. Isto é igual a o quê? Vamos ver pelo gráfico. Neste gráfico nós temos, em roxo, a função logaritmo natural do módulo de "x". Aqui nós temos a função logaritmo natural do módulo de "x". Em vermelho, nós temos a sua derivada, que é 1/x. Aqui nós temos a sua derivada, que é 1/x. Quando "x" for positivo, você tem uma inclinação sempre positiva. Quando "x" for 1, a inclinação dela vai ser 1. Ou seja, o valor de 1/x vai ser 1 positivo. E ele é simétrico: quando "x" for -1, a inclinação será -1. E 1/x vai valer exatamente -1. Quando "x" for cada vez mais negativo, ele vai ficar com a inclinação ainda negativa. Ou seja, o valor é negativo e 1/x é um valor negativo. Quando "x" for cada vez mais positivo, a inclinação é menor, ou seja, ele vai ficando próximo do zero, mas continua sendo positivo. Quando "x" tende a zero, a inclinação dele é muito inclinada negativamente, ou seja, vamos ter 1/x e ele vai ser negativo, e quando você tem pelo lado direito, você vai ter uma inclinação positiva. Ou seja, você vai ter um valor de 1/x positivo. Portanto, podemos afirmar que a derivada do logaritmo natural do módulo de x/dx é igual a 1/x para todo "x" diferente de zero.