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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 6
Lição 10: Cálculo de primitivas e integrais indefinidas: regras básicas e notação: integrais definidas- Integrais definidas: regra da potência reversa
- Integrais definidas: regra da potência reversa
- Integral definida de uma função racional
- Integral definida de uma função irracional
- Integral definida de uma função trigonométrica
- Integral definida com um logaritmo natural
- Integrais definidas: funções comuns
- Integral definida de uma função definida por partes
- Integral definida de uma função modular
- Integrais definidas de funções definidas por partes
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Integral definida de uma função modular
Neste vídeo, calculamos a integral definida de f(x)=|x+2| entre -4 e 0.
Quer participar da conversa?
- como é que resolve y=|x+9|+18?(1 voto)
- Usa também a definição de módulo, que particulamente, é uma função definida por partes.(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA8JV - Temos aqui uma função
f(x) igual ao módulo de "x + 2", e queremos a integral de -4 até zero de f(x) dx. Você pode pensar: "esta função não é contínua,
pois ela é uma função modular." De qualquer forma,
você pode também pensar em quebrar esta função em duas funções para valores onde "x + 2"
seja menor do que zero e onde "x + 2" seja maior ou igual a zero. Quando "x + 2 < 0", significa que ''x < -2" e a função vai ser o oposto desta, pois, se o que está aqui dentro
do módulo é negativo, você vai pegar o oposto dele,
ou seja, "-x - 2". A função é esta para
os valores de ''x < -2". E para os valores de "x ≥ -2", o que está dentro do módulo
vai ser positivo, então, ela continua sendo ela mesma, pois você não vai pegar o oposto uma vez que você já tem um valor positivo. Portanto aqui, nós quebramos
em duas funções, e nossa integral, podemos fazer
a integral de -4 até -2, onde a função que vale é
(-x - 2) dx, mais a integral de -2 até zero
de ''x + 2" , que é a segunda função. Nós dividimos nossa integral
em duas integrais, e agora podemos integrar,
fazer a antiderivada. Nós fazemos a antiderivada, e nós vamos ter (-x²/2 - 2x) no intervalo de -4 até -2. E esta outra integral, nós vamos ter x²/2 + 2x no intervalo de -2 até zero. Então, vamos ter -(-2)²/2
menos 2(-2) menos, agora por 4. Ficamos com -(-4)²/2
menos 2(-4) mais, zero, a primeira vai ser zero, porque aqui é zero
e aqui é zero, então, vamos ter -(-2)²/2 + 2(-2). Então, ficamos com,
deste lado, nós temos 4, -4/2 vai ser -2, menos com menos dá mais, então +4. E aqui vamos ter, 16/2, que vai ser -8, e -2(-4) vai ser +8, portanto, isto aqui vai dar zero. Então, deste lado nós temos 2. Deste outro lado, vamos ter -2² dá 4, dividido por 2 dá 2, mais -4, então, isso aqui dá -2, com sinal o negativo na frente vai dar +2. Portanto, nós temos
a nossa integral igual a 4, ou seja, a integral de -4 até zero do módulo de (x + 2) dx
vai ser igual a 4. Agora, vamos ver uma
interpretação geométrica. Vamos fazer um gráfico
desta função modular. Nós temos o eixo ''y" aqui,
nós temos o eixo ''x'' aqui e nós temos o valor -2, que é o menor valor
que esta função pode assumir, pois ela nunca é negativa. Deste lado de cá,
ela tem uma inclinação -1. Quando "x" for -2, -2 com sinal negativo fica +2. 2 - 2 é zero, então, ela vai ficar nesse ponto e ela vai ser uma função desta forma,
com a inclinação negativa. Do outro lado, ela vai ter
a inclinação positiva e o menor valor vai ser quando "x = -2". -2 + 2 vai ser zero, e ela vai ter uma inclinação
positiva desta forma. Nós queremos o intervalo de -4 até -2 e de -2 até zero. Ora, nessa parte, nós temos este triângulo aqui. Sabendo que a integral
nada mais é do que a área sob a curva em questão, nós podemos calcular quais são
estas duas áreas em questão. Este comprimento daqui para cá
é de -4 até -2, vale 2, e essa altura aqui, quando "x" for -4, -4 colocado aqui
vai ficar -(-4), que dá +4 menos 2, o que vai dar 2. Este ponto aqui vale 2. Então, esta altura aqui vale 2. Se a altura do triângulo vale 2 e a base vale 2, 2 vezes 2, dá 4, dividido por 2,
esta área vale 2. No nosso segundo retângulo,
nós temos este comprimento aqui, de menos 2 até zero vale 2, e quando "x" for zero, "y" vai valer 2, ou seja,
ele passa por este ponto 2, este comprimento aqui é 2. Então 2 vezes 2 dá 4, sobre 2, igual a 2. Ou seja, a soma das duas áreas, que vai ser a nossa integral,
que nós queremos saber, de -4 até zero, do módulo de (x + 2) dx vai ser igual a 4, que é a soma dessas duas áreas. Portanto, você viu da forma geométrica que, obviamente, neste caso, especificamente, a integral é mais fácil de você calcular
do que a forma que nós fizemos, onde nós quebramos
a integral em duas partes onde a função é contínua, pois nesse ponto,
a função não é contínua. Quando quebramos
a integral em duas partes, em uma primeira e em uma segunda, calculamos a primeira integral, que deu 2, e calculamos a segunda integral,
que deu 2 também e a soma deu 4, portanto, calculamos tanto
da forma integral, ou antiderivada, dividindo em partes, como da forma geométrica, que dá uma visão bastante razoável de como estamos fazendo, como cálculo da soma de duas áreas. Portanto, a resposta é 4.