Integral definida de uma função trigonométrica

RKA4JL - Neste vídeo nós queremos calcular a integral definida com os limites de integração indo de 11π sobre 2 até 6π da função 9 vezes sen x dx. Para calcular essa integral definida, a primeira coisa que nós precisamos fazer é encontrar uma maneira de deixar isso um pouco melhor para calcular essa integral. Com o objetivo de fazer isso nós podemos colocar esse 9 para fora dessa integral, já que esse 9 é uma constante. Assim a gente vai ter apenas a integral definida do sen x. Então vamos fazer isso. Vamos colocar esse 9 para fora dessa integral. Assim a gente vai ter 9 vezes a integral definida com os limites de integração indo de 11π sobre 2 até 6π da função sen x dx. Agora o que nós podemos fazer é calcular a anti derivada de sen x. E qual seria a anti derivada do sen x? Nós sabemos que se a gente derivar em relação a x a função cos x nós vamos ter um valor igual a -sen x, certo? Isso significa que a anti derivada do -sen x é o cos x, mas aqui nós temos sen x positivo, então o que nós poderíamos fazer para resolver esse problema? Simples. Colocar um sinal na frente do 9 e um sinal de negativo na frente do seno. Assim a gente vai ter um número negativo vezes um número negativo, que é igual a um número positivo vezes um número positivo, que é o que a gente tinha antes. Como nós já temos aqui -sen x, a gente consegue obter a anti derivada porque a anti derivada do -sen x é cos x. Então aqui a anti derivada de -sen x vai ser cos x. Então tudo isso vai ser igual a quanto? Aqui nós temos -9, então a gente coloca -9 aqui na frente e isso vezes... Abro colchetes nesse caso para colocar o resultado dessa integral. Assim a gente vai ter que a anti derivada do -sen x é cos x. Então tudo isso aqui com o sinal de menos aqui nesse caso vai ser cos x, em que isso aqui tem os limites de integração variando de 11π sobre 2 até 6π e fecho o colchetes. Isso vai ser igual a... Novamente eu repito -9 vezes, abro colchetes novamente, e calculo (cos x em 6π) menos (cos x em 11π sobre 2). Então vamos ter aqui cos 6π menos cos (11π sobre 2). E fecho o colchetes. Qual vai ser cos 6π? O cos 2πr é igual a 1, o cos 4 também é igual a 1, assim, cos 6π também vai ser igual a 1. Então cosseno de 6π vale 1. Mas qual vai ser o cosseno de 11π sobre 2? Isso é algo que a gente precisa calcular aqui do lado e a gente vai calcular isso deixando de uma forma um pouco mais fácil de identificar. Como que a gente consegue deixar isso aqui um pouco mais fácil de identificar? A gente pode subtrair por algum múltiplo de 2π, porque assim a gente não vai modificar o resultado. Então qualquer coisa, como -2π, -4π, -6π, a gente vai ter a mesma coisa como resultado desse cosseno. Então vamos fazer isso. Vamos substituir, vamos pegar isso aqui dentro, o 11π sobre 2, e subtrair aqui dentro por algum múltiplo de 2π. Eu vou subtrair por -4π. Por que -4π? Porque se a gente fatorar isso, fazendo o MMC, vamos encontrar na verdade 8π sobre 2, que é a mesma coisa que 4π, e assim a gente vai conseguir facilitar um pouco mais o que está aqui dentro desse cosseno, afinal 11 menos 8 é igual a 3 e então gente vai ter o cosseno de 3π sobre 2. cos 3π sobre 2 é muito fácil de identificar no círculo trigonométrico. E por falar nele, vamos traçar esse círculo trigonométrico aqui só para a gente ter uma ideia um pouco melhor. Aqui está o nosso y e nosso eixo x. Traçando o círculo trigonométrico, um círculo unitário, nós vamos ter aqui zero, π sobre 2, π e 3π sobre 2. Então aqui está o nosso 3π sobre 2. E quanto vale o cos 3π sobre 2? Vai ser zero, não é? Então cos 3π sobre 2 vale zero. Sendo assim o cosseno de 11π sobre 2 também é zero. Assim, aqui dentro de desse colchete a gente vai ter 1 menos zero, que é igual a 1. -9 vezes 1 é igual a -9, então o resultado dessa integral definida é igual a -9. Então a integral definida com os limites de integração de 11π sobre 2 a 6π de 9 vezes sen x vai ser igual a -9.