Integrais definidas: regra da potência reversa

RKA14C E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, nós vamos aprender como resolver uma integral definida. Para isso, eu tenho a integral de -3 a 5 de 4 dx. E isso vai ser igual a quanto? Eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver sozinho. Vamos lá, então! A primeira coisa que você deve fazer é se lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo. É ele que conecta a ideia de integral definida e antiderivada. Ele é muito útil para resolver uma antiderivada, ou seja, uma integral. Esse teorema diz que uma integral de a até b de uma f(x) dx vai ser igual à antiderivada dessa função em b menos a antiderivada dessa função em a. Ou seja, essa antiderivada, uma primitiva da função f, é representada por um F maiúsculo. Portanto, isso é igual a F(b) - F(a). Então, vamos resolver essa integral, e vamos aplicar esse Teorema Fundamental. Qual é a antiderivada de 4? Aqui temos uma constante. Portanto, a integral de 4 vai ser igual a 4x. Mas por quê? 4 é a mesma coisa que 4 vezes x⁰. Isso porque todo número elevado a zero é 1, 1 vezes 4 = 4. Com isso, temos uma potência aqui. Como podemos resolver a integral de uma potência? Podemos utilizar a regra da potência reversa. Isso significa dizer que a integral de xⁿ dx vai ser igual a xⁿ⁺¹ dividido por n + 1, mais uma constante C aqui. Ou seja, é o contrário da derivada. Portanto, para resolver 4 vezes x⁰, nós vamos ficar com 4 que multiplica x⁰⁺¹ dividido por 0 + 1, que vai ser igual a 4x. Portanto, ∫ -3 a 5 de 4 dx é igual a 4x. E eu ainda vou aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo de -3 até 5. Isso significa calcular a antiderivada do nosso ponto superior, que, neste caso, é o 5. Então, 4 vezes 5, menos a antiderivada no ponto inferior. Neste caso, é o -3, então, 4 vezes (-3). Isso vai ser igual a quanto? 4 vezes 5 = 20. -4 (-3) = 12. 20 + 12 = 32. Vamos fazer mais um exemplo. Vamos dizer que nós temos aqui ∫ -1 até 3 de 7x² dx. Podemos utilizar a regra da potência reversa. Então, vamos integrar esse 7x² pegando essa potência e aumentando em uma unidade, ficando com 7x³ dividido por 2 + 1, que é 3. Esta aqui é a ∫ 7x². Agora, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo de -1 até 3, de novo, calculamos a antiderivada do limite superior, que é 3, então, 7 vezes 3³ dividido por 3, e subtraímos isso pela antiderivada no limite inferior, que, neste caso, é -1. Com isso, ficamos com 7 vezes (-1³) / 3. Resolvendo essa primeira expressão, nós vamos ter 3³, que dá 27, e que dividido por 3 dá 9. 9 vezes 7 = 63. Então, essa expressão é igual a 63... Aqui, nós temos (-1)³, que dá -1, e que vezes esse menos aqui na frente, vai dar mais: 1 vezes 7 dá 7, dividido por 3 dá 7/3. Então, mais 7/3. Resolvendo essa soma, vamos ficar com 196/3. Finalmente, encontramos a integral! Eu quero que você saiba que esta regra aqui é muito importante, e espero que esta aula tenha lhe ajudado. Até a próxima, pessoal!