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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 6
Lição 11: Integração por substituição- Introdução à integração por substituição
- Integração por substituição: multiplicar por uma constante
- Integração por substituição: como definir 𝘶
- Integração por substituição: como definir 𝘶 (mais exemplos)
- Integração por substituição
- Integração por substituição: como definir 𝘶
- Integração por substituição: função racional
- Integração por substituição: função logarítmica
- Aquecimento para a integração por substituição
- Integração por substituição: integrais indefinidas
- Integração por substituição: integrais definidas
- Integração por substituição com integrais definidas
- Integração por substituição: integrais definidas
- Integração por substituição: integral definida de função exponencial
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Integração por substituição: como definir 𝘶
Um desafio comum quando usamos a substituição é perceber qual parte deve ser o nosso 𝘶.
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- E qual o resultado da que deixou para a gente?(2 votos)
- é 2u^3/2 dividido por 3 + C(2 votos)
Transcrição de vídeo
RKA14C E aí, pessoal!
Tudo bem? Nesta aula, nós vamos
resolver uma integral utilizando o método de substituição. Na verdade, nós vamos focar
na primeira parte dessa substituição. Isso porque o mais difícil é reconhecer quando devemos utilizar a substituição. Ok. Vamos resolver ∫ (2x + 1) vezes
√x² + x dx. Será que nessa integral
é possível usar substituição? Pause o vídeo e tente
pensar a respeito disso. A substituição que estamos
tentando fazer aqui serve para desfazer a regra da cadeia. Lembrando que a regra da cadeia diz que a derivada em relação a x de uma função f
de uma função g(x) é igual a derivada de f(g(x)) vezes a derivada de g(x). A função f é a função externa,
e g é a função interna. Quando queremos fazer
uma substituição, queremos desfazer isto aqui. Observe que essa expressão
se parece bastante com essa. Será que essa função
tem essa derivada? Vamos ver. Chamando (x² + x) de u, se você derivar isto aqui,
vai ser igual a 2x + 1. Ou seja, foi aplicada a regra da cadeia. Nós devemos desfazer isso
utilizando uma substituição que chamamos de u.du. Ou seja, eu disse que u = x² + x e, se eu derivar u em relação a x, isso vai ser igual a 2x + 1. É aqui que a mágica começa a acontecer. Se eu multiplicar ambos
os membros dessa equação por dx, eu vou ficar com du = (2x + 1) dx. Sabe qual é o interessante disso? Se você perceber,
nós temos aqui 2x + 1 e dx. Se você enxergar toda essa parte
como um produto de três coisas, claro que esse dx
é um operador integral. Mas, se você reescrever
a expressão como ∫ √x² + x vezes (2x + 1) dx, você vai perceber que
x² + x = u e (2x + 1) dx = du. Com isso, você pode
reescrever essa integral como ∫ √u. Isso porque u é igual
a isso vezes du. Porque (2x + 1) = du. Fica muito mais fácil resolver
essa integral em vez desta aqui. Ainda podemos tirar
essa raiz quadrada colocando ∫ u¹/² du. Daqui em diante,
você resolveria essa integral e substituiria aqui
para determinar o x. Eu não vou terminar
de resolver essa integral. Eu deixo como exercício para você! Mas eu espero que você saiba que essa substituição u.du
é muito importante no ensino de cálculo. Eu espero que esta aula
tenha lhe ajudado. Até a próxima, pessoal!