Integração por substituição: como definir 𝘶

RKA14C E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, nós vamos resolver uma integral utilizando o método de substituição. Na verdade, nós vamos focar na primeira parte dessa substituição. Isso porque o mais difícil é reconhecer quando devemos utilizar a substituição. Ok. Vamos resolver ∫ (2x + 1) vezes √x² + x dx. Será que nessa integral é possível usar substituição? Pause o vídeo e tente pensar a respeito disso. A substituição que estamos tentando fazer aqui serve para desfazer a regra da cadeia. Lembrando que a regra da cadeia diz que a derivada em relação a x de uma função f de uma função g(x) é igual a derivada de f(g(x)) vezes a derivada de g(x). A função f é a função externa, e g é a função interna. Quando queremos fazer uma substituição, queremos desfazer isto aqui. Observe que essa expressão se parece bastante com essa. Será que essa função tem essa derivada? Vamos ver. Chamando (x² + x) de u, se você derivar isto aqui, vai ser igual a 2x + 1. Ou seja, foi aplicada a regra da cadeia. Nós devemos desfazer isso utilizando uma substituição que chamamos de u.du. Ou seja, eu disse que u = x² + x e, se eu derivar u em relação a x, isso vai ser igual a 2x + 1. É aqui que a mágica começa a acontecer. Se eu multiplicar ambos os membros dessa equação por dx, eu vou ficar com du = (2x + 1) dx. Sabe qual é o interessante disso? Se você perceber, nós temos aqui 2x + 1 e dx. Se você enxergar toda essa parte como um produto de três coisas, claro que esse dx é um operador integral. Mas, se você reescrever a expressão como ∫ √x² + x vezes (2x + 1) dx, você vai perceber que x² + x = u e (2x + 1) dx = du. Com isso, você pode reescrever essa integral como ∫ √u. Isso porque u é igual a isso vezes du. Porque (2x + 1) = du. Fica muito mais fácil resolver essa integral em vez desta aqui. Ainda podemos tirar essa raiz quadrada colocando ∫ u¹/² du. Daqui em diante, você resolveria essa integral e substituiria aqui para determinar o x. Eu não vou terminar de resolver essa integral. Eu deixo como exercício para você! Mas eu espero que você saiba que essa substituição u.du é muito importante no ensino de cálculo. Eu espero que esta aula tenha lhe ajudado. Até a próxima, pessoal!