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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 6
Lição 11: Integração por substituição- Introdução à integração por substituição
- Integração por substituição: multiplicar por uma constante
- Integração por substituição: como definir 𝘶
- Integração por substituição: como definir 𝘶 (mais exemplos)
- Integração por substituição
- Integração por substituição: como definir 𝘶
- Integração por substituição: função racional
- Integração por substituição: função logarítmica
- Aquecimento para a integração por substituição
- Integração por substituição: integrais indefinidas
- Integração por substituição: integrais definidas
- Integração por substituição com integrais definidas
- Integração por substituição: integrais definidas
- Integração por substituição: integral definida de função exponencial
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Integração por substituição: como definir 𝘶 (mais exemplos)
Um desafio comum quando usamos a substituição é perceber qual parte deve ser o nosso 𝘶.
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Transcrição de vídeo
RKA14C Oi, pessoal!
Tudo bem? Nesta aula, nós vamos continuar falando a respeito de
substituição em integrais e ver quando é ideal
utilizar a substituição u. Então, vamos resolver
a integral indefinida (ln(x)¹⁰) / x dx. Será que conseguimos
utilizar a substituição u? A chave para podermos
utilizar substituição é ver se temos uma função
e sua derivada na expressão. Observe que nós temos ln(x) e a sua derivada é 1/x. Para ficar mais claro,
posso reescrever essa integral como (ln(x)¹⁰) vezes 1/x dx. Agora fica mais fácil
de ver que nós temos ln(x)¹⁰, e temos a sua derivada aqui, portanto, podemos
utilizar a substituição. Eu posso dizer que u = ln(x), eu utilizei essa função
porque temos a derivada dela aqui. Com isso eu posso escrever que du/dx = 1/x. Se isolarmos o du,
vamos ficar com: du = 1/x dx. Agora, sim, note que
este aqui é o du, e ln(x) é o u. Portanto, eu posso simplificar
essa integral reescrevendo como ∫ u¹⁰ du. Com isso, você resolveria essa integral, acharia o u e substituiria aqui para encontrar o x e finalmente resolver essa integral. Vamos fazer outro exemplo? Vamos resolver aqui ∫ tg(x) dx. Essa integral é muito interessante. Será que você consegue
utilizar a substituição para resolver essa integral? Pode ser que você
olhe para ela e pense: "Espera aí, aqui só tem uma tangente, como eu vou utilizar a substituição?". A primeira coisa é pensar que tg = sen ÷ cos. Então, eu posso reescrever
essa integral como sen(x) dividido por cos(x),
vezes dx. Será que agora conseguimos
utilizar a substituição u? Bem, olhando aqui,
nós podemos dizer que a derivada do seno é o cosseno, ou seja, que nós temos uma função
e temos a sua derivada. Mas, neste caso, temos uma divisão
e não uma multiplicação. Ou seja, vamos ter que
fazer alguma manipulação para poder fazer a substituição u. Para isso, o ideal
é você pensar que a derivada do cosseno
é menos seno. Mas, espera aí!
O seno está positivo aqui. O que eu devo fazer? O que podemos fazer é colocar um sinal de menos aqui
e um aqui, ou seja, multiplicar a expressão
duas vezes por -1. Isso não vai alterar
o resultado dela, porque -1 vezes -1 = +1. E por que fazer isso é importante? Simples, porque nós podemos
reescrever a expressão como - ∫ 1/cos(x) vezes -sen(x) dx. Será que agora podemos
utilizar a substituição u? Sim!
Porque, observe, nós temos cos(x)
e temos a derivada do cos(x), portanto, eu posso dizer que u = cos(x). E du/dx = -sen(x). E, se isolarmos du,
vamos ficar com du = -sen(x) dx. Note que aqui nós temos du, então, este aqui é du, e este aqui é u. Com isso, podemos
simplificar a integral reescrevendo como - ∫ 1/u du. É muito mais fácil
de resolver essa integral do que esta aqui. Mas, claro, você vai resolver para u, e depois voltar nesta parte
para resolver para x. Eu espero que essa aula
tenha lhe ajudado. Até a próxima, pessoal!