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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 6
Lição 11: Integração por substituição- Introdução à integração por substituição
- Integração por substituição: multiplicar por uma constante
- Integração por substituição: como definir 𝘶
- Integração por substituição: como definir 𝘶 (mais exemplos)
- Integração por substituição
- Integração por substituição: como definir 𝘶
- Integração por substituição: função racional
- Integração por substituição: função logarítmica
- Aquecimento para a integração por substituição
- Integração por substituição: integrais indefinidas
- Integração por substituição: integrais definidas
- Integração por substituição com integrais definidas
- Integração por substituição: integrais definidas
- Integração por substituição: integral definida de função exponencial
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Integração por substituição: integrais definidas
Quando usamos substituição em integrais definidas, devemos ter certeza de que tomamos cuidado com os limites de integração.
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Transcrição de vídeo
RKA14C E aí, pessoal!
Tudo bem? Nesta aula, nós vamos aprender
a utilizar a substituição u em integrais definidas. Então, vamos dizer que
nós temos uma integral que está no intervalo de 1 até 2 de 2x que multiplica (x² + 1)³ dx. Eu já falei que vou utilizar
a substituição u aqui, mas o mais importante
é saber quando utilizá-la. Note que aqui nós temos (x² + 1)³, e o interessante é que temos
a derivada de x² + 1 aqui. Isso está nos dizendo que
podemos fazer uma substituição. Então, eu posso chamar
esta parte aqui de u, ou seja, u = x² + 1, e du/dx vai ser a derivada disto aqui,
que é igual a 2x. Se isolarmos du,
vamos ficar com du = 2x dx. Agora sim eu posso substituir aqui, e eu vou ter a integral... Eu já vou falar a respeito dos limites de integração disto aqui
que nós chamamos de u. Então, vai ser ∫ u³. Note que temos 2x dx aqui,
que é a mesma coisa que isso. Portanto, podemos chamar isto aqui de du. É agora que vem
o mais importante desta aula. Observe que esta
é uma integral indefinida. Mas a nossa integral inicial é definida, ou seja, ela tem limites de integração. O que fazemos com eles? Existem duas maneiras de pensar nisso. Primeiro, você pode mudar
seus limites de integração, porque aqui nós temos x = 1 e x = 2. Mas aqui estamos integrando
em relação a u. Portanto, você deve considerar
novos limites de integração. Para determinar o limite inferior,
basta você substituir x = 1 aqui. u² + 1 = 2. Então, u inferior
vai ser igual a 2. Para determinar o limite superior, nós pegamos esse 2
e substituímos aqui. 2² é 4,
mais 1 vai dar 5. Então, o limite superior dessa integral
vai ser igual a 5. Claro, quando for escrever isto aqui, você não precisa colocar o u. Você só precisa colocar
o novo limite de integração. Ou seja, escrever como ∫ 2 até 5 de u³ du. É importante saber
que nós fizemos essa troca de limites
de integração porque agora estamos
integrando em relação a u. Para realizarmos essa troca, basta substituir esses limites
de integração nesta expressão. Resolvendo essa integral utilizando
a regra da potência reversa, nós vamos ficar com u⁴ dividido por 4. Eu já vou aplicar o Teorema Fundamental
do Cálculo no intervalo de 2 até 5. Isso vai ser igual à antiderivada em 5 menos a antiderivada em 2. Significa que eu vou pegar esse 5
e substituir aqui no lugar de u, ficando com 5⁴/4, e vou subtrair pela antiderivada em 2, que significa pegar esse 2
e substituir no lugar de u, ficando com 2⁴/4. Então, devemos resolver isso
e encontrar u, podendo substituir aqui
para encontrar x. E qual é a segunda maneira? Nada mais é do que resolver
a integral indefinida em termos de x, e utilizar a substituição u
como intermediária. Deixa eu escrever isso
para ficar mais claro. Eu vou colocar aqui a integral
sem os limites de integração de 2x que multiplica (x² + 1)³ dx. O que eu faço aqui
é avaliar essa expressão em x = 1 e em x = 2. Para isso, faço a substituição u aqui, que já foi feita. Então, nós vamos ter ∫ u³ du. Vamos avaliar a expressão
no intervalo de 1 até 2. Já sabemos que ∫ u³ du = u⁴/4, e utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo
de 1 até 2. Em vez de resolver desse mesmo modo, nós podemos voltar para a variável x. Então, u⁴ vai ser a mesma coisa que (x⁴ + 1)⁴ dividido por 4. Recapitulando, no lugar desse u,
eu coloquei x² + 1. Ou seja, eu voltei para a variável x. Podemos utilizar
o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral
no intervalo de 1 até 2. Se você substituir esses dois valores, isso vai dar o mesmo resultado daqui. Olha só: (2² + 1)⁴ / 4 vai ser 5⁴/4. Subtraímos isso substituindo x = 1. Isso vai ser (1² + 1)⁴ / 4, que vai dar 2⁴/4. Nesses dois casos,
nós utilizamos substituição, mas a diferença é que aqui
nós trocamos os limites de integração, e aqui não. Para não mudar o limite de integração, basta nós voltarmos para a variável x, e depois utilizar
o Teorema Fundamental do Cálculo. Eu espero que esta aula
tenha lhe ajudado. Até a próxima, pessoal!