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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 6
Lição 11: Integração por substituição- Introdução à integração por substituição
- Integração por substituição: multiplicar por uma constante
- Integração por substituição: como definir 𝘶
- Integração por substituição: como definir 𝘶 (mais exemplos)
- Integração por substituição
- Integração por substituição: como definir 𝘶
- Integração por substituição: função racional
- Integração por substituição: função logarítmica
- Aquecimento para a integração por substituição
- Integração por substituição: integrais indefinidas
- Integração por substituição: integrais definidas
- Integração por substituição com integrais definidas
- Integração por substituição: integrais definidas
- Integração por substituição: integral definida de função exponencial
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Integração por substituição: função racional
Outro exemplo de uso de integração por substituição. Versão original criada por Sal Khan.
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- os vídeos são muito uteis, só não entendo por que não tem versão em português!(2 votos)
Transcrição de vídeo
RKA3JV - O que nós queremos
fazer aqui, neste vídeo, é encontrar a integral da função 4x³ sobre (x⁴ + 7). E eu sei o que você
deve estar pensando agora. Como é que eu consigo
resolver essa integral? Ela parece ser bem difícil de resolver. Bem, na verdade, isto é só aparência. Porque, na verdade, você pode utilizar
um método bem tranquilo, e, com isso, conseguir
resolver esta integral. O mistério de resolver esta integral é observar o numerador e o denominador e tentar ver se existe
alguma relação entre eles. O segredo deste caso aqui é observar que este numerador é o resultado da derivada desta expressão que está aqui no denominador. Então, se a gente derivar x⁴ + 7 nós vamos encontrar 4x³. Sabendo que existe esta relação, nós podemos utilizar um método chamado método da substituição. Então, a gente vai utilizar este método e vai fazer uma substituição por "u", já que a gente vai utilizar o "u" aqui
para fazer a substituição. Na verdade, você pode
utilizar qualquer letra, mas é muito comum fazer
a substituição por "u". Mas qual dos dois a gente vai
fazer essa substituição? Bem, a gente vai substituir
a expressão que está embaixo, que está aqui no denominador. Então, nós vamos dizer que "u" vai ser igual a x⁴ + 7. Como eu sei que o que
está aqui no numerador é a derivada desta expressão
que está no denominador, eu vou derivar este "u". Então, eu vou derivar o "u" e vou derivar esta parte aqui. Aqui, neste caso, em relação a "x". Então, nós vamos ter 4x³. Eu utilizei a regra da potência
para fazer esta derivada. Eu coloquei o 4 aqui na frente e subtrai 1 aqui no expoente. 4 menos 1 é igual a 3, vezes "dx". Então, eu derivei este
lado em relação a "u" e derivei este lado em relação a "x". Ah, um detalhe! Isto aqui é equivalente a derivar o "u" em relação a "x" e derivar este lado
direto em relação a "x". A derivada disso tudo em relação a "x" vai ser igual a 4x³. Note que a é mesma coisa,
tudo bem? du = 4x³ dx. Assim como du/dx é igual a 4x³. Qualquer um dos dois está certo,
tudo bem? Mas quando a gente for
fazer a substituição aqui, é interessante a gente observar algo
que já tem o "dx" aqui do lado esquerdo. Na verdade, se você fizer deste jeito,
dá no mesmo. Porque apesar disso aqui
não ser uma fração, mas se você pensar nisso como uma fração e multiplicar por "dx" dos dois lados, você anularia este "dx"
ficando apenas com "du" e ficaria com "dx" aqui do lado direito, que é isso aqui que eu
já fiz anteriormente. Então, fazendo isso, a gente
já pode utilizar isto aqui para fazer essa substituição aqui em cima. Como? Bem, tudo isso aqui, essa integral vai ser
igual à integral de 4x³ dx. Eu vou colocar o "dx"
aqui em cima já no numerador, sobre x⁴ + 7. Observe que aqui no numerador
eu tenho 4x³ dx, não é? E isto daqui,
não é esta parte aqui 4x³ dx? Não é igual a "du"? Então, eu posso fazer
uma substituição aqui. Eu posso dizer então que isto aqui vai
ser igual à integral de 4x³ dx, mas 4x³ dx é igual a "du". Então, eu vou ter "du" aqui no numerador, sobre alguma coisa que está aqui embaixo. Bem, eu tenho x⁴ + 7 aqui. x⁴ + 7 eu fiz a substituição aqui por "u". Então, eu vou ter du/u. Eu poderia melhorar
isto aqui um pouco mais e colocar isso da seguinte forma. Aqui eu vou colocar o 1/u e aqui o "du", porque assim fica mais fácil para a gente visualizar e saber
calcular esta integral. E qual vai ser integral de 1/u du? Bem, a gente já sabe que
quando tem uma integral dessa forma, isto aqui vai ser igual ao
logaritmo natural do módulo de "u",
o valor absoluto de "u", mais uma constante, que
a gente pode ter tirado aqui no momento que fez
a derivada dessa expressão. Beleza, e conseguimos calcular
a integral de 1/u du. Agora que a gente calculou a integral, a gente pode substituir novamente o "u" pela expressão que a gente
tinha anteriormente. Então, isto vai ser igual
ao logaritmo natural de "u", em que "u" é igual a "x⁴ + 7". O valor absoluto de "x⁴ + 7", mais esta constante. Então, essa é uma forma
de calcular essa integral, utilizando o método da substituição. Então, perceba que apesar de inicialmente você ter achado que era
uma integral "cabulosa", uma integral difícil, no final da história nem foi tão difícil. Basta realizar este método
de substituição. Lembrando de perceber
se existe uma relação aqui disso que está aqui embaixo
com isso aqui em cima, através de uma derivada. E aí, fazendo o método de substituição, a gente consegue calcular a integral. Não esquecendo, claro, de no final voltar aqui para essa expressão anterior. A expressão que a gente fez
a substituição inicialmente.