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Cálculo Avançado AB
Curso: Cálculo Avançado AB > Unidade 6
Lição 11: Integração por substituição- Introdução à integração por substituição
- Integração por substituição: multiplicar por uma constante
- Integração por substituição: como definir 𝘶
- Integração por substituição: como definir 𝘶 (mais exemplos)
- Integração por substituição
- Integração por substituição: como definir 𝘶
- Integração por substituição: função racional
- Integração por substituição: função logarítmica
- Aquecimento para a integração por substituição
- Integração por substituição: integrais indefinidas
- Integração por substituição: integrais definidas
- Integração por substituição com integrais definidas
- Integração por substituição: integrais definidas
- Integração por substituição: integral definida de função exponencial
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Integração por substituição: integral definida de função exponencial
Como calcular a integral definida de 0 a 1 de x²⋅2^(x³). Versão original criada por Sal Khan.
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- Por que nao poderia chamar u =x3 já que temos x2 como uma derivada dessa funcão se diferenciando apenas por constante ?(4 votos)
- Boa pergunta! Sim, você pode substituir.
u = x³ e du= 3x²dx
Foi assim que fiz e cheguei a 1/3ln2 , que é o mesmo que 1/ln8(2 votos)
Transcrição de vídeo
RKA8JV - O que eu quero fazer,
neste vídeo, é calcular a integral definida com os limites de integração
indo de zero até 1 da função x² vezes 2ˣ³ dx. Quando a gente olha
para esta integral logo de cara, a gente logo leva
um susto, e fica perguntando: "como é que nós podemos resolver isso?" No entanto, você deve se lembrar
da função "e", não é? Em que você está muito
acostumado a calcular a derivada em relação a "x"
da função eˣ. Afinal, a derivada de eˣ
é o próprio eˣ. Você também está muito acostumado
a calcular a antiderivada eˣ, certo? Afinal, antiderivada de eˣ dx
é igual ao próprio eˣ, claro, mais uma constante. Então, se você já está
acostumado com isso, é interessante a gente
pegar esta parte aqui e fazer uma substituição
por algo que tenha "e", porque assim, a gente vai
começar a observar isso de uma forma mais
parecida com esta e que vai nos ajudar
a resolver esta integral. Mas como eu posso transformar este 2ˣ³
em algo elevado a ''e"? Pelas propriedades do logaritmo, a gente já sabe que 2
vai ser igual a eˡⁿ², certo? Já que todas as vezes que a gente tem
o "e" ao "ln" de alguma coisa, isso vai ser igual a essa coisa, então eˡⁿ² = 2. Sendo assim, a gente pode
dizer que 2 é igual eˡⁿ². Mas a gente ainda tem
esse x³ aqui, não é? O que nós poderíamos fazer aqui, então, é elevar esses dois lados
da equação ao x³. Assim, nós vamos ter aqui, deixe-me colocar este 2 só um
pouquinho mais para a esquerda, para a gente ter mais espaço. Assim a gente vai ter 2ˣ³, e este lado aqui a gente
também vai ter esse (eˡⁿ²)ˣ³. E isto vai ser igual a quê? A gente vai ter aqui o "e"
elevado a alguma coisa. Que coisa? Todas as vezes que a gente
tenha "ln" de alguma coisa elevado a outra coisa, isso vai ser a mesma coisa
que esta coisa aqui vezes esse "ln". Então, a gente vai ter
este eˣ³ vezes o "ln", o logaritmo natural de 2. Então, isto aqui já é bem mais semelhante
com o que nós estamos acostumados, e a gente pode até fazer
uma substituição aqui. Então, vamos calcular esta integral. Não vamos nos preocupar
com a parte definida agora com esses limites de integração não,
tudo bem? Vamos calcular apenas a integral
indefinida por enquanto, depois, a gente volta aqui
e se preocupa com isso. Então, a gente tem que a
integral indefinida de x² vezes 2ˣ³ dx é igual à integral de x² vezes 2ˣ³, só que 2ˣ³ é a mesma coisa que
este eˣ³ˡⁿ² Então, a gente pode
até colocar isso aqui. Inclusive, eu vou copiar
toda esta parte aqui e já colocar logo aqui. Não podemos esquecer
do "dx" no final, certo? Porém, isso aqui ainda fica um pouco
confuso para a gente resolver. Como é que a gente pode
resolver esse eˣ³ˡⁿ²? Uma forma de fazer isso é utilizando
um método de substituição. A gente poderia,
por exemplo, substituir tudo
isso aqui por "u". Mas será que daria certo? Sim, porque se a gente substituir
isso aqui por "u" e derivar, a gente vai ter 3x²ˡⁿ², já que o ln2 é uma constante, a gente precisa apenas derivar esta parte. Então, nós vamos ter um x²dx e que a gente vai poder
substituir por este x²dx aqui. Então, vamos fazer isso, vamos utilizar esse método
de substituição. A gente vai falar que "u"
vai ser igual a x³ vezes ln2. Aí a gente vai derivar esse "du" e derivar este lado
em relação a "x". Então, a gente vai ter aqui,
3x² vezes ln2 dx. A gente pode rearranjar ainda isso aqui,
e colocar x² vezes 3ln2 dx. E lembrando, que se a gente
tem um número aqui, a gente pode colocá-lo aqui
no expoente deste outro, que está dentro do "ln". Então, isso aqui
vai ser igual a x² vezes ln2³. e 2³ é igual a 8, então, nós vamos ter x² vezes ln8 dx. Não podemos esquecer
do "dx" aqui também não. Então, nós temos esse x² dx aqui
que já temos aqui nesta parte, certo? Então, a gente já consegue fazer
uma substituição por esse "du". Quer dizer, quase, porque a gente ainda tem que
se preocupar com este ln8 aqui. E a gente não tem esse ln8 aqui, mas o que a gente poderia fazer
para colocar um ln8 aqui? Simples, multiplicando
e dividindo por ln8. Então, a gente vai ter aqui,
o ln8 dividido pelo ln8. Aí a gente já vai ter o ln8 vezes x² dx,
que é igual ao "du". Porém, este ln8 aqui que
está no denominador, pelo fato de ser uma constante, a gente pode colocá-lo
para fora da integral. Assim, a gente teria 1/ln8
vezes a integral de ln8 vezes x² vezes tudo isso aqui "dx". Aí sim a gente pode substituir
esse ln8 vezes x² dx pelo "du". Então isso tudo aqui vai ser igual
a 1/ln8 vezes a integral de eᵘ du. E bem, agora é fácil né, a gente consegue resolver esta
integral aqui com muita facilidade. A integral de eᵘ du igual a eᵘ
mais uma constante. Então, tudo isso vai ser igual
a 1/ln8 vezes eᵘ mais uma constante. Inclusive agora, a gente já pode
substituir este "u" pelo que a gente já tinha antes, assim, toda esta expressão
vai ser igual a 1/ln8 vezes eᵘ, que é x³ vezes ln2. Isso tudo mais uma constante. Beleza! Agora que já calculamos
a integral indefinida, a gente pode voltar aqui
e calcular a integral definida com esses limites de integração. Então, vamos copiar esta parte aqui e colocar aqui embaixo
para a gente calcular isso. Lembrando que os nossos limites
de integração aqui vão do zero até 1. Então, isso vai ser igual
a esta integral aqui calculada neste ponto 1 menos esta integral calculada
no ponto zero. Lembrando que a gente pode
esquecer dessa constante porque ela vai acabar se anulando
quando a gente fizer esta subtração. Então, nós vamos ter apenas aqui, 1/ln8 vezes "e" elevado a 1³, e 1³ = 1. 1 vezes o ln2 = ln2, menos tudo isso calculado no ponto zero. Então, a gente vai ter 1/ln8
vezes e⁰ elevado ao cubo, vezes ln2 é igual a zero. Isso vai ser igual a quanto? eˡⁿ² = 2. E e⁰ = 1. Então, nós vamos ter 2/ln8 - 1/ln8, que é igual a 1/ln8. E essa aqui é a resposta
da nossa integral definida. Então, a integral definida com
os limites de integração indo de zero a 1
da função x² vezes 2ˣ³ é igual a 1/ln8.