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Raciocínio para a segunda parte do teorema fundamental do cálculo

Transcrição de vídeo

vamos considerar é se de ter uma função da posição em relação ao tempo e eu vou traçar no gráfico um possível sdt que temos no eixo horizontal o eixo do tempo e eu vou traçar uma parábola aquilo eu poderia ter feito de outra maneira mas eu vou traçar uma parábola porque é mais fácil de entender vamos chamar esse outro isso que deixo de y e vamos dizer que y é igual à s de ter pra gente poder ter um gráfico da posição em função do tempo vamos pensar no que acontece se a gente quiser refletir um pouco acerca da mudança de posição entre dois tempos por exemplo entre o tempo a que vamos marcar aqui e o tempo b que vamos marcar aqui então qual seria a mudança de posição entre o tempo aí o tempo b bem no tempo b estamos na posição sdb e no tempo a estamos na posição s de a então a mudança de posição entre os tempos a e b e pode até parecer algo fácil mas isso é muito importante essa mudança de posição entre os tempos a e b vai ser igual a sdb - sd a isso não é muito complicado não é bem vamos pensar então o que acontece se a gente determinar derivada dessa função aqui o que acontece se calcularmos a derivada de uma posição em função do tempo lembre-se é derivada nos dá o ângulo de inclinação da reta tangente em qualquer ponto então se considerarmos um ponto aqui o ângulo de inclinação da reta tangente que passa nesse ponto é a derivada e vai nos mostrar para uma mudança muito pequena em t claro vou dar uma exagerada que visualmente para uma mudança muito pequena em ter o quanto que vai mudar na posição então por isso escrevemos aqui de sbt que é derivada da função posição em relação ao tempo agora observe bem estamos falando da taxa de mudança da posição em função do tempo e isso seria o que bem isso é a velocidade então isso aqui é igual a velocidade então deixa eu escrevi aqui de uma forma diferente então esse de sdt que se há algo em função do tempo será igual à s linha de t lembre-se são dois modos diferentes de escrever a derivada de eça em função do tempo isso deixa até um pouco mais claro que isso é diretamente uma função do tempo e nós sabemos que isso é exatamente a mesma coisa que a velocidade em função do tempo que nós podemos expressar como vídeo e te vamos traçar como seria o gráfico de ver di te nesse contexto eu vou colocar um outro eixo aqui embaixo se parece bastante com o original só que aqui eu vou colocar a vida de t no gráfico isso aqui vai ser novamente o meu eixo y isso aqui vai ser o meu eixo t e aí eu vou desenhar o gráfico de y sendo igual a vida de t e se isso aqui em cima é realmente uma parábola a inclinação aqui a 0 seja a taxa de mudança é zero e depois segue aumentando a inclinação vai aumentando mais e mais então esse gráfico y igual à vt tem essa forma que ok agora vamos usar um pouco de si gráfico pra começar a pensar e poder conceitualizar distância ou a mudança da posição entre os tempos aib novamente a gente vai voltar lá na soma de he man vamos pensar no que a área de um pequeno retângulo representa e vamos dividir isso em vários retângulos eu vou fazer aqui em retângulos maiores para a gente tem espaço para trabalhar tudo bem mas vamos imaginar que eles são muito menores do que isso aí eu vou fazer a soma de he-man à esquerda porque nós fizemos isso muitas vezes mas também poderíamos fazer a direita enfim qualquer outra que a gente quisesse bem deixa eu fazer três retângulos aqui com uma aproximação mas você pode imaginar mais próximo de tudo bem agora o que seria a área de cada um desses retângulos isso aqui seria uma aproximação do que bem esse aqui é feed a gol poderíamos dizer verde ea então a velocidade no tempo a teria essa altura que ea distância é essa daqui que é uma mudança no tempo delta t então a área do retângulo é a velocidade neste momento multiplicada pela mudança no tempo agora o que seria a velocidade neste momento multiplicada pela variação do tempo é exatamente a variação na posição então estou aqui te daria uma boa aproximação da várias da posição nesse intervalo de tempo a área desse retângulo aqui também é uma aproximação para variação da posição nesse intervalo de tempo e aí você pode imaginar isso aqui como sendo uma aproximação da variação da posição para o próximo intervalo de tempo agora se você quer realmente entender a variação da posição entre os tempos a e b você poderia fazer uma soma de he man e aí chegar a uma boa aproximação cá isso você vai fazer o somatório de igual a um até n para a soma de he-man à esquerda mas novamente poderíamos usar um ponto médio enquanto a direita enfim qualquer outro ponto pra fazer a soma de he-man eu vou fazer à esquerda porque eu já coloquei verde ter aqui tudo bem então isso daqui seria 30 que seria e esse é o primeiro retângulo para o primeiro retângulo você usa a função avaliada em dezembro para o 2º você usa a função avaliada em t1 já fizemos isso em vários outros vídeos e então multiplicamos isso por cada mudança no tempo e isso será uma aproximação do nosso total onde delta tse igual a ab - a dividido pelo número de intervalos já sabemos de muitos vídeos que quando temos a soma de he-man teremos uma boa aproximação para duas coisas como já falamos para a variação da posição mas também será uma aproximação para a nossa área como você pode ver aqui estamos fazendo uma aproximação da mudança de posição e isso também a aproximação da área baixo da curva nem eu espero que isso dê satisfaça e se você quiser calcular e abaixo da curva é muito fácil fazer isso porque isso aqui é um contrapeso wade mas mesmo que fosse uma função daria para fazer da mesma forma afinal podemos calcular abaixo da curva da função da velocidade e com isso nós estaríamos calculando a variação da posição essas duas são as mesmas coisas e já sabemos o que fazer para determinar abaixo da curva não é ou seja para ter exatamente a variação da posição bem como temos muito retângulos podemos usar o limite com o número de retângulos e aí vamos usar o limite quando n tende ao infinito lembrando que delta tse igual a b - a / n então quando ele tende ao infinito nós vamos ter um delta tem infinitamente pequeno e uma maneira de pensar isso a gente transformar esse delta teen de t nós já aprendemos a trabalhar com essa notação não foi essa aqui é uma maneira de pensar numa integral de rina usamos a soma de he-man à esquerda novamente falando a gente poderia usar só uma direita ou qualquer outra forma de rick vai funcionar da mesma forma e isso é que vai ser integral definida em do dia até be dvd tdt essa é uma forma de determinar abaixo da curva para a função velocidade e será exatamente a variação da posição entre os tempos a e b ou seja o limite dessa soma de remy quando n tende ao infinito é igual a integral definida indo de até ver para ver de tdt conseguiu entender essas idéias vamos recapitular aqui nós já descobrimos antes que a variação da posição entre a e b é isso aqui então fica mais interessante nós temos uma forma de avaliar essa integral definida conceitualmente sabemos que isso daqui corresponde à variação da posição entre os pontos a ib mas a gente descobriu uma forma de determinar exatamente a variação da posição entre os tempos a e b então vou escrever isso daqui temos que é integral definida entre a e b dvd tdt é igual a sdb - s diá sabemos que vede t é a derivada de s de tdt então podemos dizer que sdt é a anti derivada de vt e essa definição apesar de está escrito de uma forma um pouco mais tradicional eu usei posição e velocidade é o segundo teorema fundamental do cálculo bem qual é o primeiro desde já falou sobre ele em outro vídeo esse é o modo muito útil de avaliar integrais definidas e de encontrar áreas abaixo de curvas agora porque o segundo programa fundamental do cálculo é tão importante deixa eu reescrevi este teorema de uma forma mais genérica da forma que você está mais acostumado a ver em seu livro de cálculo bem se queremos a área baixo da curva entre os pontos a e b d fdx é essa notação aqui que nós vamos utilizar a deixou desenhar isso aqui pra ficar mais claro que o estou falando em termos gerais essa daqui será nossa fdx e nós queremos a área baixo da curva entre os pontos a exibir se queremos achar exatamente a área nós podemos calcular ante derivada df vamos dizer então que f maiúsculo dx é anti derivada ou uma anti derivado porque você pode ter várias coisas diferenciadas apenas por constantes então teremos uma anti derivada df então basta avaliar antes de elevada nos pontos finais e subtrair subtrair pela amt derivada avaliada no ponto inicial então você tem f maiúsculo de beer - f maiúsculo de a assim se buscamos a área exata baixo da curva basta calcular sua ante derivada avaliada no ponto final ea partir daí subtraí comandante derivada avaliada no ponto inicial bem eu espero que isso faça sentido para você e nós vamos aplicar um pouco mais de si teorema nos próximos vídeos
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