Exemplo resolvido: ponto onde uma função não é contínua

RKA8JV - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, nós vamos ver um exemplo de descontinuidade. Para isso, nós temos uma função f(x) aqui, que é definida em duas partes, sendo que a primeira parte é definida por ln(x), se o "x" estiver entre zero e 2, e a segunda parte é definida por x² vezes ln(x), se o "x" for maior do que 2. Este é o ln(x) aqui é o logaritmo natural de "x". O que nós queremos é saber qual é o limite da função f(x) quando "x" tende a 2, ou seja, quando se aproxima de 2. O interessante deste 2 aqui é que ele é a fronteira destes 2 intervalos. Se quisermos analisar ele, nós caímos neste intervalo aqui, já que o "x" é menor ou igual a 2. Portanto, o f(2) vai ser igual a ln(2). Portanto, para calcular o f(2), nós temos que substituir o 2 no lugar deste "x", f(2) vai ser igual a ln(2). Mas este, necessariamente, não é o limite. Para descobrir o limite, nós precisamos saber o que está acontecendo quando estamos nos aproximando do ponto pela esquerda e o que está acontecendo quando estamos nos aproximando pela direita. Se esse esse limite existe, então, os limites laterais devem ser iguais. Eles devem tender para uma mesma coisa. Ok, vamos calcular esses limites laterais? O primeiro que eu vou calcular aqui é o limite de f(x) quando "x" tende a 2 pela esquerda, ou seja, quando se aproxima do 2 pela esquerda, e esse vai ser o caso quando estamos neste intervalo aqui, ou seja, nós estamos esperando valores inferiores a 2 da esquerda. Por causa disso, nós vamos utilizar isto aqui, que está bem definido neste intervalo. Portanto, o limite de f(x) quando "x'' tende a 2 pela esquerda vai ser igual a ln(2). Com isso resolvido, vamos pensar no que acontece do lado direito, ou seja, para valores maiores que 2. Então, queremos saber qual é o limite de f(x) quando "x" tende a 2 pela direita. Isso significa pegar valores maiores do que 2, e, portanto, utilizamos esta fórmula aqui, sabendo que a função é contínua para valores maiores do que 2. Portanto, utilizando a mesma ideia daqui e substituindo o 2 no lugar do "x", nós vamos ter 2² vezes ln(2). Isso vai igual a 2², que é igual a 4, vezes ln(2). Portanto, o limite de f(x) tendendo a 2 pela direita existe e o limite de f(x) com "x" tendendo a 2 pela esquerda existe. Mas observe que eles são valores diferentes. Por causa disso, se você fizer um gráfico de f(x), você vai ver que há um salto de um ponto para o outro, ou seja, você teria uma descontinuidade em "x = 2". E por causa dessa descontinuidade, o limite de f(x) quando "x" tende a 2 não existe. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado, e até a próxima, pessoal!