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Funções contínuas em valores específicos de x

Neste vídeo, devemos determinar qual das seguintes funções é contínua para x=3: ln(x-3) e/ou eˣ⁻³. Em geral, as funções comuns são contínuas para todos os números em seu domínio.

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - Quais destas funções são contínuas em x igual a 3? Vimos em um vídeo anterior que, para que a função seja contínua em um certo ponto, ela deve ser definida naquele ponto. Veja: f é contínua em x igual a “a” se, e somente se, o limite com x tendendo a "a" do fx for igual ao f(a). Então neste exemplo f é contínuo em x igual a 3 se, e somente se, o limite quando x tende a 3 de f(x) for igual ao f(3). Vamos analisar esta primeira função aqui: o logaritmo natural de (x menos 3). Vamos tentar obter g(3). g(3) é o logaritmo natural de 3 menos 3, que é zero. O logaritmo natural de zero não é definido, ou seja, não conseguimos obter g(3). "g" não está definida em x igual a 3, porque não existe um resultado para a potência com base "e" cujo resultado seja zero. Por isso não existe o ln de zero. Então como g não está definida para x igual a 3, g não é uma função continua em x igual a 3. Vamos olhar para esta outra função f(x) igual a "e" elevado a (x menos 3), que é exatamente uma versão deslocada em relação à definição de função eˣ. Nós sabemos que essa função está definida para todos os números reais. Como vimos no exemplo anterior é razoável dizer, então, que f é contínua para todos os números reais. Você pode, de fato, fazer um pequeno teste aqui. Aplicando o limite quando x tende a 3 para essa função f, vamos ter e³⁻³, que é e⁰, ou seja, 1. Isso significa, portanto, que f, destas que estão aqui, é a única função contínua para x igual a 3. Vamos agora analisar visualmente o que temos aqui. A função g é uma função deslocada do ln de x e a função f é uma função deslocada do "e" de x, ambas deslocados em três unidades porque temos ali (x menos 3). Vamos representá-las graficamente de maneira bem simplificada. Aqui estão os eixos e deixe-me marcar no eixo x um, dois, três, quatro, cinco, seis, aqui no eixo y não vou fazer na mesma escala. Temos aqui um, dois, três. Aqui em (x igual a 3) vou traçar uma linha pontilhada assim. E por que em 3? Porque justamente temos as funções apresentadas como sendo deslocadas três unidades em relação a aqui se tivéssemos somente x no logaritmando ou no expoente. Vamos começar analisando o g(x). Deixe-me colocar aqui uma tabela com x e g(x). Quando x vale 3, a função está indefinida neste ponto, quando x vale 4 nós temos ln de 1, que é igual a zero. Como nós já conhecemos o gráfico da função logarítmica, podemos afirmar que o gráfico de g(x) vai ser algo como esta curva aqui. Você pode observar que em x igual a 3 temos esta descontinuidade da função. Inclusive para valores de x menores que 3 a função não está definida. Vamos olhar para f(x) agora. f é uma função um pouco mais simples para observarmos. Começando que se x for 3, nós vamos ter f(3) igual a e³⁻³, que é e⁰, que resulta em 1. Tenho aqui este ponto. Conhecendo o gráfico da função exponencial sabemos que ela vai ter uma aparência como esta aqui: não há saltos, não há buracos aqui. De fato ela vai ser contínua para todos os valores reais de x e evidentemente em x igual a 3 também. Até o próximo vídeo!